# 突破 0 和 1 的思維：量子計算介紹

## 1 什麼是量子計算？

量子計算是一種使用量子邏輯進行通用計算的方法，被普遍認為是一種更新型的計算機技術。

在傳統計算機中，資訊量的基本單位是位元，它只能取 0 或 1 中的一個值。在量子計算機中，資訊量的基本單位為量子位元或量子位。透過量子力學現象，這些量子位可以同步進行大量計算。理論上，利用量子力學現象，量子計算可以極大地改進資訊儲存和處理方式，演算法比傳統計算更高效，從而能更快地解決各種難題。

這會帶來巨大的影響，比如說，今天我們使用的很多加密方法並不是理論上不可攻破的，而是由於目前計算機的物理限制，攻破的時間可能需要10000年，時間太長，我們也就認為這些加密是安全的了。但是，對於量子計算機而言，攻破可能就是分分鐘的事情，你存在銀行的錢都不安全了，影響之大不言而喻。

![/](https://seo.s3.didiyunapi.com/history.jpg)

## 2 量子計算歷史？

- 1982年，[理查德·費曼](https://zh.wikipedia.org/wiki/理查德·費曼)在一個著名的演講中提出利用量子體系實現通用計算的想法，開啟了量子計算的研究
- 1985年，[大衛·杜斯](https://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=大衛·杜斯&action=edit&redlink=1)提出了[量子圖靈機](https://zh.wikipedia.org/wiki/量子圖靈機)模型，證明了通用量子計算機的理論可行性
- 1994年，[彼得·秀爾](https://zh.wikipedia.org/wiki/彼得·秀爾)提出[量子質因數分解演算法](https://zh.wikipedia.org/wiki/秀爾演演算法)後[[9\]](https://zh.wikipedia.org/wiki/量子計算機#cite_note-9)，證明量子計算機能做出[離散對數](https://zh.wikipedia.org/wiki/離散對數)運算[[10\]](https://zh.wikipedia.org/wiki/量子計算機#cite_note-10)，而且速度遠勝傳統計算機。這個演算法對於量子計算的發展起到了很大的推動作用，因其對於現在通行於銀行及網路等處的[RSA加密演算法](https://zh.wikipedia.org/wiki/RSA加密演演算法)可以破解而構成威脅之後，量子計算機變成了熱門的話題，除了理論之外，也有不少學者著力於利用各種量子系統來實現量子計算機。
- 1996年，Lov Grover提出了可以用於資料庫搜尋和函式取反的 Grover 演算法，進一步證明了量子計算相比於傳統計算機的優勢。
- 2011年，加拿大的[D-Wave 系統公司](https://zh.wikipedia.org/wiki/D-Wave_系統公司)釋出了一款號稱“全球第一款商用型量子計算機”的計算裝置“D-Wave One”，含有128個量子位。
- 2019年，Google 在 nature 上發表文章，表明他們利用 54 量子位元的 Sycamore 量子計算機在 200 秒內完成了一個計算，而同樣的計算用當今最強大的超級計算機 Summit 執行，需要約 10000 年。這也就是之前被廣泛報導的 Google 實現了**量子霸權**（所謂[量子霸權](https://www.infoq.cn/article/1QTxB0jmQHyHraaqkqVo)，指的就是量子計算機能夠解決“經典（非量子）”計算機在合理時間範圍之內無法解決的複雜難題這一關鍵性節點），這項成就被多方認為是量子計算領域的重大里程碑事件。

## 3 量子計算機如何工作？

一般來說，完成一次計算，需要三個步驟：

> 提供輸入 ->  執行計算 -> 提取輸出

**提供輸入**

在傳統計算機中，計算機執行的單位是位元，取值為 0 或 1。而量子計算機中，執行單位是量子位元（Qubit），但它的取值比 0 或 1更加複雜，可以處於不同的狀態。

量子位元，以及它們所處於的不同狀態，用於量子計算機的資訊儲存和表達。

**執行計算**

在傳統計算機中，透過一些邏輯閘（與門、或門、非門等），位元按照順序被處理，實現一些邏輯運算。而在量子計算機中，也存在一些功能類似的門作用在 Qubit 上，設計不同門的組合實現演算法邏輯，實現計算的執行。

量子門，透過修改量子位元的狀態，實現計算。

**提取輸出**

在傳統計算機中，計算的結果是一個確定的單一取值，可以直接獲取。而在量子計算機中，由於量子狀態存在疊加和糾纏，量子計算的結果需要一個特定的**觀測**操作，獲取到單一的結果，而同時這個計算結果又有一定的機率性，需要多次計算獲得答案的樣本，並累積對所提供最佳答案的資訊，結合統計學可以得到某一答案為正確答案的可能性。透過調整置信度閾值來提供最佳的速度和準確度。

觀測操作和結果統計，實現了量子計算的輸出提取。

## 4 量子位元及其狀態用於資訊表達

**基底**

傳統計算機中，0 和 1 構成位元取值空間中的基礎取值。類似的，在量子態空間中，也存在一組基，是量子位元的基礎取值。對於一個量子位元的空間，這組基底是（使用狄拉克標記右括向量表示，也叫 ket），也就是量子位元的 0 和1 ：

$| 0 \rangle = \left[     \begin{array}{c}     1 \\     0 \end{array}     \right]$

$| 1 \rangle = \left[     \begin{array}{c}     0 \\     1 \end{array}     \right]$

**疊加態**

不同於傳統計算機，一個位元的取值非0即1，在一個時間只存在一種狀態。而量子位元則可以是1 同時也可以是 0，兩種狀態同時存在，可以表達成如下的形式，其中 $\alpha$ he $\beta$ 是兩個複數。

![](https://seo.s3.didiyunapi.com/1bit state.jpg)

當 $\alpha$ 和 $\beta$ 其中一個為 0 時，處於基態，而都不為 0 時則處於**疊加態**。

**糾纏態**

對於兩個及以上的量子位元，還存在一種特殊的疊加態，叫做糾纏態。當幾個粒子在彼此相互作用後，由於各個粒子所擁有的特性已綜合成為整體性質，無法單獨描述各個粒子的性質，只能描述整體系統的性質，這種現象叫做量子糾纏。

其定義如下，兩個量子位元的基如下：

![](https://seo.s3.didiyunapi.com/2 qubit .jpg)

對於一個 2-qubit 的量子態

![image-20191111180527536](https://seo.s3.didiyunapi.com/2qubit-state.png)

如果不能夠表達成 product state 的形式，則稱為糾纏態，例子如下：

![](https://seo.s3.didiyunapi.com/entanglement.jpg)

在量子計算中，量子糾纏的意義很大，它可以使空間上分離的多個量子位元之間發生了聯絡，實現多個位元的聯合計算，進而實現相比於傳統計算機的指數級加速效果。

## 5 量子門用於資訊處理

上面介紹了量子位元及其狀態，量子計算機透過它們來表達資訊。而對於計算的執行和資訊處理則是透過量子門來實現的。

**么正矩陣**

若一 $n$ 行 $n$ 列的複數矩陣 $U$ 滿足

$\displaystyle U^{\dagger }U=UU^{\dagger }=I$

其中$\ I_{n}\,$為n階[單位矩陣](https://zh.wikipedia.org/wiki/單位矩陣)，$ U^{\dagger }$ 為 $U$ 的[共軛轉置](https://zh.wikipedia.org/wiki/共軛轉置)，則 $U$ 稱為么正矩陣。

量子計算機使用量子門來對量子位元進行操作，而這些操作的算符都是么正矩陣，將系統從一個狀態變換到另一個狀態，也叫么正變換。

只透過么正變換進行運算看似嚴格，但已經被證明 [Deutsch, 1985]，這樣的量子計算機可以實現圖靈完備。

## 6 觀測門用於資訊提取

傳統計算機，我們可以在任意時間來直接讀取它的狀態。而對於量子計算機，量子位元的狀態不能夠直接獲得，必須透過**觀測門**來收集得到。

**薛定諤的貓**

我們都聽說過薛定諤的貓的故事，在開啟盒子之前，貓處於一種既生又死的疊加態，而一旦開啟盒子，貓就到達了一種確定的狀態，要麼生要麼死，因為你的觀測，導致貓死了，這就是所謂的好奇害死貓。

這裡面說明了一點，就是觀測動作會使量子從疊加態塌陷到確定態。觀測導致態的塌陷，這對於薛定諤的貓是不好的，但對於量子計算機來說是必要的，這將有助於我們提取得到一次計算的結果。

**結果機率性**

對於一個量子狀態，觀測會使其以一定的機率塌陷到一個確定的狀態，注意，這裡的結果狀態有機率性，並不是每次的答案都是一樣的，多次計算會給出多種可能的答案樣本。

因此，量子計算機在設計時需要考慮多種答案的情況，結合統計學來計算多種答案中某一答案正確的可能性，可以透過調整該置信度來平衡速度和準確度。

## 7 演算法如何設計？

至此，我們知道了量子計算機的工作原理：

1. 量子位元用於儲存和表達資訊，在計算前，量子計算機被預先定義在某一種狀態。
2. 量子門來處理資訊和執行計算，在計算中，實現對量子位元狀態的變換。
3. 觀測門用於提取資訊來獲得結果，在計算後，透過觀測門得到量子位元的狀態，並結合統計方法獲取答案。

因此，演算法的設計主要就是對量子門的排列組合實現特定的邏輯。在量子計算中，有幾個重要的量子門可以瞭解一下。

**X-Gate**

X-Gate 實現量子位的反轉，類似於傳統計算機的非門，在量子計算機中則實現了基向量係數的交換。X-Gate 的矩陣如下：

$$X = \left[     \begin{array}{cc}     0 & 1 \\     1 & 0 \end{array}     \right]$$

比如某個量子位元經過 X-Gate 後的結果為：

$$X \left[ \begin{array}{c} \alpha \\ \beta \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} \alpha \\ \beta \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} \beta \\ \alpha \end{array} \right]$$

**Hadamard 門**

Hadamard 門的矩陣如下：

$$H = \frac{\sqrt{2}}{2} \left[ \begin{array}{cc} 1 &  1 \\ 1 & -1 \end{array} \right]$$

對基態進行運算結果如下，可以發現，H 門的作用可以將基態變換稱為均勻的疊加態：

$$H| 0 \rangle = \frac{\sqrt{2}}{2} \left( | 0 \rangle + | 1 \rangle\right)$$

$$H| 1 \rangle = \frac{\sqrt{2}}{2} \left( | 0 \rangle - | 1 \rangle\right)$$

**C-NOT 門**

C-NOT 也就是受控非門，它有兩部分組成：Control 和 Target。對於兩個量子位元的受控非門，如果 control qubit 是$| 0 \rangle$，則沒有變化；如果 control qubit 是 $| 1 \rangle$，則 target qubit 會取非。例如：

$CNOT_{12}|00\rangle = |00\rangle$

$CNOT_{12}|01\rangle = |01\rangle$

$CNOT_{12}|10\rangle = |11\rangle$

$CNOT_{12}|11\rangle = |10\rangle$

這個門實現了 qubit 之間的聯絡，類似傳統計算機中的條件判斷，不同的控制值會導致不同的計算操作。C-NOT 門可以用於製造或者銷燬量子糾纏。

總結一下，X-Gate 是非門，也叫 NOT-Gate，實現對量子態的反轉。Hadamard 門可以實現基態向疊加態的變換。C-NOT 門可以實現建立或銷燬糾纏態。透過這幾個門，就可以實現對量子位元狀態的改變。

## 8 硬體如何實現？

上述都是量子計算的理論，雖然理論基礎證明了量子計算的可行性，但仍然缺少很多實用的演算法來解決傳統的計算問題。除了演算法的缺失，硬體的實現離商用也還有很長的距離。

目前有幾種方法可以構建量子計算機，如下圖所示，給出了一些方法及其優缺點的對比，其中最受商業青睞的型別是絕熱量子計算機和門模型量子計算機。

![](https://seo.s3.didiyunapi.com/Quantum_Computing_Drupal_1.0.jpg)

如果要構建完全可擴充套件的量子計算機，量子技術的發展，還需要克服一些障礙。例如，噪聲會導致量子系統退相干並失去其量子特性。量子系統對噪聲(即該系統定期調整的因素)的敏感度 遠高於傳統計算機。在設計量子糾錯方案(也被稱為“容錯量子計算”)，以及推動工程技術發展以抑制噪聲影響方面，仍有很大提升空間。

## 9 有什麼用？

量子計算機不是萬能的，要使用量子計算機解決“正確”的問題。

**最佳化問題**

雖然量子計算機具有強大的平行計算能力，不過沒有人認為量子計算機會對文書處理或者郵件系統帶來巨大的革命。但是在一些最佳化和搜尋問題上，量子特性卻能發揮重大的作用，比如：

- 在眾多路經中尋找最最佳化的路徑
- 在大資料集上進行特性資料的搜尋和查詢
- 發現新的化學催化劑
- 利用因數分解來解密資料

**抽樣問題**

絕熱量子計算機可以執行的另一功能。抽樣可以順利隨機生成某些現象的 隨機樣例，而經典計算機卻很難有效做到。 然而，如果可以控制複雜的量子狀態(本 身具有機率性)，便可更為有效地從這些狀態抽樣。

**其他**

對於其他一些可以轉化為最佳化問題和抽樣問題的問題，比如機器學習的基礎是抽樣和最佳化方法，所以完善這些技術就可以提高機器學習的能力。

作者：厚之成

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突破 0 和 1 的思維：量子計算介紹

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