CF976-F. Count Leaves-min25篩（紅溫了）

yoshinow2001發表於2024-09-30

link：https://codeforces.com/contest/2020/problem/F
題意：給定 \(n,d,k\)，用如下方式構造樹\(T_{n,d}\)：

  • 樹的根是一個標有數字 \(n\) 的節點。這是樹的第 \(0\) 層。
  • 對於從 \(0\) 到 \(d−1\) 的每個 \(i\) ，對於第 \(i\) 層的每個頂點，執行以下操作：如果當前頂點標記為 \(x\) ，建立其子頂點並標記為 \(x\) 的所有可能的不同因此 。這些子頂點將位於 \((i+1)\) 層。
  • \(d\) 層上的頂點就是樹的葉子。
    \(f(n,d)\) 表示 \(T_{n,d}\) 的葉子結點個數，求 \(\sum_{i=1}^n f(i^k,d)\)，\(1\leq n\leq 10^9,1\leq k,d\leq 10^5\).

（喜歡賽後過題）

觀察 \(f(n,d)\) 對於固定的 \(d\)，遞推一次相當於求一次因子個數，第二次則是因子的因子個數之和，也就是 \(f(n,1)=(d\circ 1)(n)\)，\(f(n,2)=(d\circ 1\circ 1)(n)\) 以此類推（這兩句話裡的“\(d\) “表示的是因子個數的函式），我們知道積性函式的Dirichlet卷積還是積性函式，因此 \(f(n,d)\) 是關於 \(n\) 的積性函式

因此只要考慮 \(f(p^q,d)\)，每一層往下相當於做一個字首和，答案是 \(\frac{1}{(1-x)^{q+1}}\) 中 \([x^d]\) 的係數，廣義二項式定理展開是 \(\binom{d+q}{d}\)，那麼對於 \(f(p^{kq},d)\) 就是 \(\binom{kq+d}{d}\)，那麼現在要求這個東西的字首和，感覺沒什麼好的辦法，直接上一個min25篩：

#include<bits/stdc++.h>
#define rep(i,a,b) for(int i=(a);i<=(b);i++)
#define fastio ios_base::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);cout.tie(0)
using namespace std;
typedef long long ll;
constexpr int MOD=1e9+7;
constexpr int N=3e6+5;
int ksm(int a,int b){
    int ret=1;a%=MOD;
    for(;b;b>>=1,a=(ll)a*a%MOD)if(b&1)ret=(ll)ret*a%MOD;
    return ret;
}
int inv(int x){return ksm(x,MOD-2);}
int fact[N],inv_fact[N];
void init(){
    fact[0]=1;
    rep(i,1,N-1)fact[i]=(ll)fact[i-1]*i%MOD;
    inv_fact[N-1]=inv(fact[N-1]);
    for(int i=N-1;i>=1;i--)inv_fact[i-1]=(ll)inv_fact[i]*i%MOD;
}
int C(int n,int k){
    if(k>n)return 0;
    return (ll)fact[n]*inv_fact[k]%MOD*inv_fact[n-k]%MOD;
}
namespace Min25{  
    constexpr int maxs=2e5;
    void add(int &x,const int & y){x+=y;if(x>=MOD)x-=MOD;}
    void dec(int &x,const int & y){x+=MOD-y;if(x>=MOD)x-=MOD;}
    int sum(const int &x,const int & y){return x+y<MOD?x+y:(x+y-MOD);}
    int sub(const int &x,const int & y){return x<y?x+MOD-y:x-y;}
    template<typename T>long long sqrll(const T&x){return (ll)x*x;}

    long long global_n,lis[maxs + 1];
    int K,d;
    int pri[maxs / 7], lpf[maxs + 1], spri[maxs + 1],pcnt,lim,cnt;
    int le[maxs + 1],ge[maxs + 1];//x<=sqrt(n),x>sqrt(n)
    int G[maxs + 1][2], Fprime[maxs + 1];

    #define idx(v) (v <= lim ? le[v] : ge[global_n / v])
    void sieve(const int &n) {
        rep(i,2,n){
            if(!lpf[i]){
                lpf[i]=++pcnt;
                pri[lpf[i]]=i;
                spri[pcnt]=sum(spri[pcnt-1],1);//
            }
            for(int j=1,v;j<=lpf[i];j++){
                v=i*pri[j];
                if(v>n)break;
                lpf[v]=j;
            }
        }
    }
    void init(const int &n,int _k,int _d){//calc Fprime
        global_n=n;
        K=_k;d=_d;
        cnt=0;
        for(ll i=1,j,v;i<=n;i=n/j+1){
            j=n/i;v=j%MOD;
            lis[++cnt]=j;
            (j<=lim?le[j]:ge[n/j])=cnt;
            G[cnt][0]=sub(v,1ll);//
        }
        rep(k,1,pcnt){
            const int p=pri[k];
            const ll sqrp=sqrll(p);
            for(int i=1;lis[i]>=sqrp;i++){
                const ll v=lis[i]/p;
                const int id=idx(v);
                dec(G[i][0],sub(G[id][0],k-1));
            }
        }
        rep(i,1,cnt)Fprime[i]=(ll)G[i][0]*C(K+d,d)%MOD;//
    }
    int fp(const int &p,const int &c){return C(c*K+d,d);}//
    int F(const int &k,const ll &n){
        if(pri[k]>n||n<=1)return 0;
        const int id=idx(n);
        int ans=sub(Fprime[id],(ll)spri[k-1]*C(K+d,d)%MOD);//
        for(int i=k;i<=pcnt&&sqrll(pri[i])<=n;i++){
            long long pw=pri[i],pw2=sqrll(pw);
            for(int c=1;pw2<=n;c++,pw=pw2,pw2*=pri[i])
            add(ans,((ll)fp(pri[i],c)*F(i+1,n/pw)+fp(pri[i],c+1))%MOD);
        }
        return ans;
    }
}

int main(){
    fastio;
    int tc;cin>>tc;
    init();
    Min25::lim=sqrt(1e9);
    Min25::sieve(Min25::lim+1000);
    while(tc--){
        int n,k,d;
        cin>>n>>k>>d;
        Min25::init(n,k,d);
        cout<<(Min25::F(1,n)+1)%MOD<<endl;
    }
    return 0;
}

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