P10681 COTS/CETS 2024 奇偶矩陣 Tablica
來自 qnqfff 大佬的夢幻 dp。
約定
二元組 \((n,m)\) 表示一個 \(n\) 行 \(m\) 列的矩形。
不新增說明的子問題，限制與題面一致。
思路
先考慮放最後一行，發現你填的位置經過變換後可以得到其他的結果，也就是說只要乘上變換的方案數就可以任選位置放。
那麼考慮填一個還是兩個。
1.填一個
填在左下角，不考慮填的那一列（填的列不再填）變成了 \((n-1,m-1)\) 的子問題；考慮那一列，變成了一個 \((m,n-1)\) 其中有一行填一個的子問題。
2.填兩個
填在左下角兩個：
- 2.1 不考慮填的列，是一個 \((n-1,m-2)\) 的子問題。
- 2.2 考慮填的兩列，是一個 \((m,n-1)\) 其中兩行有一行（不填狀況已經考慮，這裡必填一個可以更多）必填一個的子問題。
3.一行填一個
填左下角，是一個 \((n-1,m-1)\) 的子問題和 \((m,n-1)\) 其中一行填一個的子問題（該行填完後對於其他列來說又只能填一個）。
4.兩行必填一個（有一行可填可不填）
- 4.1 同一列填一個 \((n-2,m-1)\) 的子問題和 \((m,n-2)\) 其中一行填一個的子問題。
- 4.2 同一列填兩個 \((n-2,m-1)\) 的子問題。
- 4.3 任選兩列列填兩個 \((n-2,m-2)\) 的子問題和 \((m,n-2)\) 其中兩行必填一個的子問題。
在大力分討之後，發現所有情況都可以分為子問題，而子問題合併的係數也易於得出，具體系數參考程式碼或讀者自行思考。
使用記憶化搜尋實現，較為容易。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
const ll mod=1e9+7;
// const ll mod=1211221111;
const int maxn=3005;
int n,m;
ll dp[maxn][maxn],f[maxn][maxn],g[maxn][maxn];
inline ll dfs(int n,int m);
int go(int n,int m){//求 (n,m) 中某一行必填一個的方案數
if(n<=0||m<=0) return 0;
if(~f[n][m]) return f[n][m];
if(m==1)
{
if(n<=2) return f[n][m]=1;
return f[n][m]=0;
}
return f[n][m]=(dfs(n-1,m-1)+go(m,n-1))*m%mod;
}
inline ll _go(int n,int m)//求 (n,m) 中某兩行有一行必填一個的方案數
{
if(n<=0||m<=0) return 0;
if(~g[n][m]) return g[n][m];
if(m==1)
{
if(n==2) return g[n][m]=3;
else if(n==3) return g[n][m]=2;
return g[n][m]=0;
}
if(m==2)
{
g[n][m]=((dfs(n-2,m-1)+go(m,n-2))*2%mod*m%mod/*同一列填一個*/+dfs(n-2,m-1)*m%mod)%mod;/*同一列填一個*/
if(n<=4)//直接算兩列的貢獻
{
if(n==2) g[n][m]+=2;
else if(n==3) g[n][m]+=6;
else g[n][m]+=4;
}
return g[n][m]=0;
}
return g[n][m]=(((dfs(n-2,m-1)+go(m,n-2))*2%mod*m%mod/*同一列填一個*/+dfs(n-2,m-1)*m%mod/*同一列填兩個*/)+(_go(m,n-2)+dfs(n-2,m-2))*m%mod*(m-1)%mod/*任選兩列列填兩個（有序）*/)%mod;
}
inline ll dfs(int n,int m)//求子問題(n,m)的方案數
{
if(n<=0||m<=0) return 0;
if(~dp[n][m]) return dp[n][m];
if(2*n<m||2*m<n) return dp[n][m]=0;
if(n==1||m==1) return dp[n][m]=1;
return dp[n][m]=((dfs(n-1,m-1)+go(m,n-1))*m%mod/*填一個*/+(dfs(n-1,m-2)+_go(m,n-1))*(m*(m-1)/2)%mod/*填兩個*/)%mod;
}
inline void solve()
{
memset(dp,-1,sizeof(dp));memset(f,-1,sizeof(f));memset(g,-1,sizeof(g));
printf("%lld",dfs(n,m));
}
int main()
{
scanf("%d%d",&n,&m);
if(2*n<m) printf("0"),exit(0);
if(n==1) printf("1"),exit(0);
solve();
}