資料結構——圖相關基本概念

線上性表中，資料元素之間是被串聯起來的，僅有線性關係，每個資料元素只有一個直接前驅和一個直接後繼。在樹形結構中，資料元素之間有著明顯的層次關係，並且每一層上的資料元素可能和下一層中的多個元素相關，但只能和上一層中的一個元素相關。

可是現實生活中，好多關係不再是一對一或一對多，比如人和人之間的關係，會互相認識，就要考慮多對多的情況。這就是今天要介紹的——圖。

圖是一種較線性表和樹更加複雜的資料結構，在圖形結構中，結點之間的關係可以是任意的，圖中任意兩個資料元素都可能相關。先看個圖：

圖是由頂點的有窮非空集合和頂點之間的邊的集合組成，通常表示為：G(V,E)，其中G表示一個圖，V是圖G中的頂點的集合，E是G中邊的集合。

對於圖的定義我們需要注意：

• 線性表中的資料元素叫元素，樹中將資料元素叫做結點，在圖中資料元素叫做頂點。
• 線性表中可以沒有資料元素，稱為空表。樹中可以沒有結點，叫做空樹。在圖結構中，不允許沒有頂點，在定義中，V表示有窮的非空集合。
• 線性表中，相鄰的資料元素之間具有線性關係，樹結構中，相鄰兩層的結點具有層次關係，而圖中，任意兩個頂點之間都有可能存在關係，頂點之間的邏輯關機用邊來表示，注意邊集可以為空。

各種圖定義

無向邊：若頂點v_i到v_j之間的邊沒有方向，則稱這條邊為無向邊，用無序偶對(v_i,v_j)來表示。如果圖中任意兩個頂點之間的邊都是無向邊，則稱該圖為無向圖，如圖：

**有向邊：若從頂點v_i到v_j的邊有方向，則稱這條邊為有向邊，也稱為弧，用有序偶< v_i,v_j >來表示，v_i稱作弧尾，v_j稱作弧頭。如果圖中任意兩個頂點之間的邊都是有向邊，則稱該圖為有向圖。**有向邊用“<>”表示，注意它是有順序的，第一個為弧尾，第二個為弧頭，不能顛倒。

**在圖中，若不存在頂點到其自身的邊，且同一條邊不重複出現，則稱這樣的圖為簡單圖。**我們之後說到的都是簡單圖。下面兩個圖就不是簡單圖：

**在無向圖中，如果任意的兩個頂點之間都存在邊，則稱該圖為無向完全圖。*含有n個頂點的無向完全圖有n(n-1)/2條邊。如下圖：

在有向圖中，如果任意兩個頂點之間都存在互為相反的兩條弧，則稱該圖為有向完全圖。含有n個頂點的有向完全圖有n*(n-1)條弧，如下圖：

由以上可以得出這樣的結論，對於具有n個頂點和e條邊數的圖，無向圖0<=e<=n(n-1)/2，有向圖0<=e<=n(n-1) 。

有很少條邊或弧的圖稱為稀鬆圖，反之稱為稠密圖。

有些圖的邊或弧具有與它相關的數字，這種與圖的邊或弧相關的數叫做權。這種帶權的圖通常稱為網。如下圖：

圖中頂點間存在路徑，兩頂點存在路徑則說明是連通的，如果路徑最終回到起始點則稱為環，當中不重複的叫簡單路徑。若任意兩頂點都是連通的，則圖就是連通圖，有向則稱為強連通圖。圖中有子圖，若子圖極大連通這就是連通分量，有向的則稱為強連通分量。

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