U389139 至少有一位重複的數字-題解

StevenJiahao發表於2024-09-22

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一、舉例說明

以 \(654923\) 為例
要判斷在 \([0, 654923]\) 區間至少有一位重複的數值的數，可以考慮其補集，即\(\color{red}所有位數均不重複的數\)，用 \(N\) 減去補集即為結果。
首先可以將其分為兩種情況。

  • 情況一，位數小於 \(6\) 位。所有位數均不重複的有 \(9 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6\) 種（首位不為0）。
  • 情況二，位數等於 \(6\) 位，這也可以分為兩種情況，首位小於 \(6\) 或等於 \(6\) 。對於首位小於 \(6\) 的資料，所有位數均不重複的有 \(5 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5\) 種情況。

對於首位等於 \(6\) ，那麼就要考慮次高位。可以定義一個 \(st\) 陣列，來記錄是否有重複的數，比如 \(654423\) ，列舉到第四位也是 \(4\) ，那麼後兩位無論是多少數字都無意義了，都一定沒有不重複的數。因此用該陣列判斷某一個數字是否已被使用，已被使用就直接跳過。
從第二位 \(j=5\) 開始列舉，於是我們第二位考慮比 \(j\) 小的數即 \(0\) 到 \(4\) ，加上後面四位不重複的數，即 \(8 \times 7 \times 6 \times 5 = P(8,4) = P(10-2,4)\)，列舉後 \(st[5] = true\)。
從第三位 \(j=4\) 開始列舉，於是我們第三位考慮比 \(j\) 小的數即 \(0\) 到 \(3\) ，對於每一位數如果 \(st[k]\) 不為 \(true\) 的話，就說明此時這個數可以來當第三位數，加上後三位不重複的數即 \(7 \times 6 \times 5 = P(7,3) = P(10-3,3)\) ，列舉後 \(st[4] = true\) 。
以此將每一位數進行迴圈判定。每次迴圈完畢之後都判斷一次，對應位數 \(j\) 是否重複有 \(st[j] = true\) ，如果重複了就不用繼續往下面迴圈了，後面對應的數一定都重複。
最後跳出迴圈，同時我們在列舉的過程中，可以發現，第二位我們沒有列舉 \(5\) ，第二位沒有列舉 \(4\) …，第六位沒有列舉 \(3\) ，如果能夠列舉到這裡，說明列舉過程中沒有遇到重複的數，即這個數不是重複的數，所以要減去這個數。

二、程式碼實現

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int getSum(int a,int b){
    int res = 1;
    for(int i = a;b>0;b--,a--){
        res *= a;
    }
    return res;
}
vector<int>nums;
int numDupDigitsAtMostN(int n) {
    int res = n;
    //先將數整理為陣列
    while(n) {
        nums.push_back(n % 10);
        n /= 10;
    }
    //情況一 比給定數位數少
    for(int i = nums.size() - 1;i > 0;i--){
        res -= 9 * getSum(9,i-1);
    }
    //情況二 和給定數位數相同 但最高位小於給定數最高位
    res -= (nums.back() - 1) * getSum(9,nums.size() - 1);
    //情況三 和給定數位數相同 最高位相同
    vector<bool> st(10);
    //然後去除首位的情況，設定首位為true不可再使用
    st[nums.back()] = true;
    for(int i = nums.size() - 2;i >= 0;i--){
        int j = nums[i];
        for(int k = 0;k < j;k++){
            //每次遇到前面用過的數就continue
            if(st[k]) continue;
            res -= getSum(10 - (nums.size() - i),i);
        }
        if(st[j]) {
            return res;
        }
        st[j] = true;
    }
    return res-1;
}
int main()
{
    int originNum;
    cin>>originNum ;
    cout<<numDupDigitsAtMostN(originNum);
    return 0;
}

如果你看到這裡，你就浪費了2分鐘，因為這程式碼太煩了(bushi

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