題目描述
給定長為 \(n\) 、下標從零開始的 \(01\) 序列 \(x,y\) ，保證 \(x_0=y_0\) 。
令 \(col_{0,j}=x_j,col_{i,0}=y_i\) ，對 \(\forall 1\le i\lt n,1\le j\lt n\) ， \(col_{i,j}=[col_{i-1,j}=0\and col_{i,j-1}=0]\) 。
\(q\) 次詢問，給定 \(u,d,l,r\) ，求 \(\sum_{i=u}^d\sum_{j=l}^rcol_{i,j}\) 。
資料範圍
- \(1\le n,q\le 2\cdot 10^5\) 。
- \(0\le u\lt d\lt n,0\le l\lt r\lt n\) 。
時間限制 \(\texttt{1s}\) ，空間限制 \(\texttt{2048MB}\) 。
分析
先分析 \(col\) 矩陣的性質。
先暴力求出所有滿足 \(\min(i,j)\le 2\) 的位置（即前 \(3\) 行 \(3\) 列）的值，容易發現：
- 對於數列 \(col_{n-1,1}\cdots,col_{1,1},col_{1,n-1}\) ，不會有連續兩個 \(1\) 。
證明：
顯然。
- 對於數列 \(col_{n-1,2},\cdots,col_{2,2},\cdots,col_{2,n-1}\) ，不會有連續兩個 \(1\) ，也不會有連續 \(3\) 個 \(0\) 。
證明：
前半部分顯然，下面僅考慮後半部分。
若 \(col_{i+1,2}=col_{i,2}=col_{i-1,2}=0\) ，則 \(col_{i+1,1}=col_{i,1}=1\) ，矛盾。
若 \(col_{3,2}=col_{2,2}=col_{2,3}=0\) ，則 \(col_{3,1}=col_{1,3}=1\) ，且 \(col_{2,1}\) 和 \(col_{1,2}\) 至少一個為 \(1\) ，矛盾。
若 \(col_{2,j-1}=col_{2,j}=col_{2,j+1}=0\) ，則 \(col_{1,j}=col_{1,j+1}=1\) ，矛盾。
綜上即可得證。
再考慮 \(i\ge 2,j\ge 2\) 時，每個 \(1\) "管轄" 的範圍。
它所在斜線一定為 \(1\) ，並且相鄰兩條斜線一定為 \(0\) ，如下圖所示：
透過上述性質我們可以按照斜線不重不漏確定整個矩陣，這是因為兩條相鄰的斜線 \(1\) 之間只能間隔 \(1\) 或 \(2\) 條斜線 \(0\) 。
對詢問做二維差分，單獨處理前 \(2\) 行 \(2\) 列，轉化為求 \(\sum_{i=2}^a\sum_{j=2}^b col_{i,j}\) 。
為方便起見，記 \(m=n-2,a\gets a-1,b\gets b-1\) ，令矩陣下標從 \(1\) 開始。
令 \(o_1,\cdots,o_{2m-1}\) 表示每條斜線的數值，對斜線出發點和穿過詢問矩形的邊界分類討論：
- 出發點在左邊界，穿過矩形下邊界：貢獻 \(\sum(a+i-m)\cdot o_i\) 。
- 出發點在左邊界，穿過矩形右邊界：貢獻 \(\sum b\cdot o_i\) 。
- 出發點在上邊界，穿過矩形下邊界：貢獻 \(\sum a\cdot o_i\) 。
- 出發點在上邊界，穿過矩形右邊界：貢獻 \(\sum(b+m-i)\cdot o_i\) 。
預處理 \(\sum o_i\) 和 \(\sum i\cdot o_i\) 即可做到 \(\mathcal O(1)\) 回答，注意經過左上角和右下角的斜線不要算重。
時間複雜度 \(\mathcal O(n+q)\) 。
#include<bits/stdc++.h>
#include"mosaic.h"
#define ll long long
#define vi vector<int>
using namespace std;
const int maxn=2e5+5;
int m;
int o[2*maxn],s1[maxn],s2[maxn],s3[maxn],s4[maxn];
ll t1[2*maxn],t2[2*maxn];
vi col[maxn];
ll get(int l,int r,int x,int y)
{///\sum_{i=l}^r(x+y*i)*o[i]
return l<=r?x*(t1[r]-t1[l-1])+y*(t2[r]-t2[l-1]):0;
}
ll calc(int a,int b)
{
if(min(a,b)<0) return 0;
ll res=0;
for(int i=0;i<=1;i++)
for(int j=0;j<=1;j++)
if(i<=a&&j<=b) res+=col[i][j];
if(a>=0) res+=s1[b];
if(a>=1) res+=s2[b];
if(b>=0) res+=s3[a];
if(b>=1) res+=s4[a];
if(--a>=1&&--b>=1)
{
res+=get(m+1-a,min(m,b-a+m),a-m,1);
res+=get(b-a+m+1,m,b,0);
res+=get(m+1,b-a+m,a,0);
res+=get(max(m+1,b-a+m+1),m+b-1,b+m,-1);
}
return res;
}
vector<ll> mosaic(vi x,vi y,vi u,vi d,vi l,vi r)
{
int n=x.size(),q=u.size();
for(int i=0;i<n;i++)
{
col[i].resize(i<3?n:3);
for(int j=0;j<col[i].size();j++)
{
if(!i) col[i][j]=x[j];
else if(!j) col[i][j]=y[i];
else col[i][j]=!col[i-1][j]&!col[i][j-1];
}
}
for(int i=2;i<n;i++) s1[i]=s1[i-1]+col[0][i],s2[i]=s2[i-1]+col[1][i];
for(int j=2;j<n;j++) s3[j]=s3[j-1]+col[j][0],s4[j]=s4[j-1]+col[j][1];
m=n-2;
for(int j=1;j<=2*m-1;j++)
{
o[j]=j<=m?col[m+2-j][2]:col[2][j-m+2];
t1[j]=t1[j-1]+o[j],t2[j]=t2[j-1]+o[j]*j;
}
vector<ll> vec(q);
for(int i=0;i<q;i++)
vec[i]=calc(d[i],r[i])-calc(u[i]-1,r[i])-calc(d[i],l[i]-1)+calc(u[i]-1,l[i]-1);
return vec;
}