CORDIC演算法原理闡述
CORDIC（Coordinate Rotation Digital Computer）演算法，即座標旋轉數字計算方法，是J.D.Volder1於1959年首次提出，主要用於三角函式、雙曲線、指數、對數的計算。
偽旋轉
在笛卡爾座標平面（下方左圖）由 \(({x_1},{y_1})\) 旋轉 θ 角度至 \(({x_2},{y_2})\) 得到：\(({\hat x_2},{\hat y_2})\) ；
提出因數 \(\cos \theta\) ，方程轉化為：\(\left\{ {\matrix{ {{x_2} = \cos \theta ({x_1} - {y_1}\tan \theta )} \cr {{y_2} = \cos \theta ({y_1} + {x_1}\tan \theta )} \cr } } \right.\)；
待去除 \(\cos \theta\) 項，得到“偽旋轉”公式\(\left\{ {\matrix{ {{{\hat x}_2} = {x_1} - {y_1}\tan \theta } \cr {{{\hat y}_2} = {y_1} + {x_1}\tan \theta } \cr } } \right.\)。
經“偽旋轉”後，向量 R 模值將增加 $1/\cos \theta $ 倍（角度保持一致）。
角度累加器
為便於FPGA硬體實現（正切項需改為移位操作）：以 $ \tan {\theta ^i} = {2^{ - i}}$ 設定旋轉角度 θ ；
故方程可轉換為\(\left\{ {\matrix{ {{{\hat x}_{_2}} = {x_1} - {y_1}{2^{ - i}}} \cr {{{\hat y}_{_2}} = {y_1} + {x_1}{2^{ - i}}} \cr } } \right.\) 或 \(\left[ {\matrix{ {{{\hat x}_{_2}}} \cr {{{\hat y}_{_2}}} \cr } } \right] = \left[ {\matrix{ 1 & { - {2^{ - i}}} \cr {{2^{ - i}}} & 1 \cr } } \right]\left[ {\matrix{ {{x_1}} \cr {{y_1}} \cr } } \right]\)。
其中矩陣 \(\left[ {\matrix{
1 & { - {2^{ - i}}} \cr
{{2^{ - i}}} & 1 \cr
} } \right]\) 可進行拆分為多個類似矩陣乘積，即旋轉角度 θ ，可拆分為多次小的旋轉（下圖為對應的反正切角度表）。
由於旋轉角度 θ 可為任意值，故將旋轉變換採用迭代演算法實現，即多次角度迭代關係無限趨近於目標θ角度（以 θ 旋轉角度限制）。以55°度旋轉角為例逼近55° = 45.0° + 26.6° -14.0°- 7.1° + 3.6° + 1.8° - 0.9°。
旋轉過程需引入一個判決因子 \({d_i}\) ，用於確定角度旋轉的方向。
根據判決因子 \({d_i}\) 來設定一個角度累加器：$\eqalign{
& {z^{(i + 1)}} = {z^{(i)}} - {d_i}{\theta ^{(i)}} \cr
& where:{d_i} = \pm 1 \cr} $，其中z（旋轉角度差）無限趨近於0。
並且偽旋轉可表示為\(\left\{ {\matrix{ {{x^{(i + 1)}} = {x^{(i)}} - {d_i}({2^{ - i}}{y^{(i)}})} \cr {{y^{(i + 1)}} = {y^{(i)}} + {d_i}({2^{ - i}}{x^{(i)}})} \cr } } \right.\)。
象限預處理
當然，每次旋轉的方向都影響到最終要旋轉的累積角度，角度範圍大致為： $ - 99.7 \le \theta \le 99.7$。對於範圍外的角度，需要使用三角恆等式轉化進行“預處理”，即象限判斷。
因此，原始演算法規整為使用向量的偽旋轉來表示迭代移位-相加演算法，即：\(\left\{ {\matrix{ {{x^{(i + 1)}} = {x^{(i)}} - {d_i}({2^{ - i}}{y^{(i)}})} \cr {{y^{(i + 1)}} = {y^{(i)}} + {d_i}({2^{ - i}}{x^{(i)}})} \cr {{z^{(i + 1)}} = {z^{(i)}} - {d_i}{\theta ^{(i)}}} \cr } } \right.\)，
前面提到了，在進行“偽旋轉”操作時，每次迭代運算都忽略了\(\cos \theta\)項，最終得到的 \({x^{(n)}},{y^{(n)}}\) 被伸縮了 \({k_n}\)倍
${k_n} = \prod\limits_n {({1 \over {\cos {\theta ^{(i)}}}})} = \prod\limits_n {(\sqrt {1 + {2^{( - 2i)}}} )} $ （伸縮因子）。
對 \({k_n}\) 求無限積，${k_n} = \prod\limits_n {(\sqrt {1 + {2^{( - 2i)}}} )} \to 1.6476,as:n \to \infty $（ \(1/{k_n} = 0.6073\) ）
若已知執行的迭代次數，便可直接求得 \({k_n}\) 最終值。
關於圓座標系下，CORDIC演算法應用包括旋轉模式和向量模式兩種：
旋轉模式
應用場景：已知相角angle，用Cordic演算法計算其正弦和餘弦值。
具體過程：判決因子\({d_i}{\rm{ = sign}}({z^{(i)}}) \Rightarrow {z^{(i)}} \to 0\)，N次迭代後得到\(\left\{ {\matrix{ {{x^{(n)}} = {k_n}({x^{(0)}}\cos {z^{(0)}} - {y^{(0)}}\sin {z^{(0)}})} \cr {{y^{(n)}} = {k_n}({y^{(0)}}\cos {z^{(0)}} + {x^{(0)}}\sin {z^{(0)}})} \cr {{z^{(n)}} = 0} \cr } } \right.\)（ \({z^{(0)}}\) = θ）透過設定 \({x^{(0)}} = {1 \over {{k_n}}}{{\rm{y}}^{(0)}} = 0\)，可最終求到 $\cos \theta、 \sin \theta $ 。
向量模式
應用場景：已知座標，用cordic演算法計算相角和幅值。
具體過程：直角座標系轉換的極座標系，迭代過程變化為\(\left\{ {\matrix{ {{x^{(i + 1)}} = {x^{(i)}} - {d_i}({2^{ - i}}{y^{(i)}})} \cr {{y^{(i + 1)}} = {y^{(i)}} + {d_i}({2^{ - i}}{x^{(i)}})} \cr {{z^{(i + 1)}} = {z^{(i)}} - {d_i}{\theta ^{(i)}}} \cr } } \right.\)，
其中判決因子 \({d_i}{\rm{ = - sign}}({x^{(i)}}{y^{(i)}}) \Rightarrow {y^{(i)}} \to 0\)，N次迭代得到：\(\left\{ {\matrix{ {{x^{(n)}} = {k^{(n)}}\sqrt {x_0^2 + y_0^2} } \cr {{y^{(n)}} = 0} \cr {{z^{(n)}} = {z^{(0)}} + {{\tan }^{ - 1}}({y_0}/{x_0})} \cr {{k^{(n)}} = \prod\limits_n {\sqrt {1 + {2^{ - 2i}}} } } \cr } } \right.\)，
透過設定\({x^{(0)}} = 1，{z^{(0)}} = 0\)，可最終求得 \({\tan ^{ - 1}}{y^{(0)}}\)。
Verilog HDL實現CORDIC
針對\(\left\{ {\matrix{ {{x^{(i + 1)}} = {x^{(i)}} - {d_i}({2^{ - i}}{y^{(i)}})} \cr {{y^{(i + 1)}} = {y^{(i)}} + {d_i}({2^{ - i}}{x^{(i)}})} \cr {{z^{(i + 1)}} = {z^{(i)}} - {d_i}{\theta ^{(i)}}} \cr } } \right.\) ，每次迭代計算需要2次移位 \(({x^{(i)}{,y^{(i)}}})\) 、1次查詢表\({\theta ^{(i)}}\)、3次加法（x、y、z累加）。
對應的CORDIC硬體結構如下：
在Cordic—旋轉模式下，Matlab程式碼實現：
點選檢視程式碼
%% ***********************************************************************************
% 圓座標系下：Cordic—旋轉模式
% 已知相角angle，計算其正弦和餘弦值。基本公式如下：
% x(k+1) = x(k) - d(k)*y(k)*2^(-k)
% y(k+1) = y(k) + d(k)*x(k)*2^(-k)
% z(k) = z(k) - d(k)*actan(2^(-k))
%% ***********************************************************************************
clear;close all;clc;
angle = 30; %設定旋轉角度
% 初始化-------------------------------
N = 16; %迭代次數
tan_table = 2.^-(0 : N-1);
angle_LUT = atan(tan_table); %建立arctan&angle查詢表
An = 1;
for k = 0 : N-1
An = An*(1/sqrt(1 + 2^(-2*k)));
end
Kn = 1/An;%計算歸一化伸縮因子引數：Kn = 1.6476,1/Kn = 0.6073
Xn = 1/Kn; %相對於X軸上開始旋轉
Yn = 0;
Zi = angle/180*pi; %角度轉化為弧度
% cordic演算法計算-------------------------------
if (Zi > pi/2) % 先做象限判斷，得到相位補償值
Zi = Zi - pi;
sign_x = -1;
sign_y = -1;
elseif (Zi < -pi/2)
Zi = Zi + pi;
sign_x = -1;
sign_y = -1;
else
sign_x = 1;
sign_y = 1;
end
for k = 0 : N-1 % 迭代開始
Di = sign(Zi);
x_temp = Xn;
Xn = x_temp - Di*Yn*2^(-k);
Yn = Yn + Di*x_temp*2^(-k);
Zi = Zi - Di*angle_LUT(k+1);
end
cos_out = sign_x*Xn; %餘弦輸出
sin_out = sign_y*Yn; %正弦輸出
Verilog HDL在旋轉模式下，程式：
點選檢視程式碼
module Cordic_rotate_mode(
input sys_clk ,
input sys_rst ,
input signed [31:0] angle ,
output reg [31:0] cosout ,
output reg [31:0] sinout
);
//旋轉角度查詢表
wire [31:0]rot[15:0];
assign rot[0] = 32'd2949120 ; //45.0000度*2^16
assign rot[1] = 32'd1740992 ; //26.5651度*2^16
assign rot[2] = 32'd919872 ; //14.0362度*2^16
assign rot[3] = 32'd466944 ; //7.1250度*2^16
assign rot[4] = 32'd234368 ; //3.5763度*2^16
assign rot[5] = 32'd117312 ; //1.7899度*2^16
assign rot[6] = 32'd58688 ; //0.8952度*2^16
assign rot[7] = 32'd29312 ; //0.4476度*2^16
assign rot[8] = 32'd14656 ; //0.2238度*2^16
assign rot[9] = 32'd7360 ; //0.1119度*2^16
assign rot[10] = 32'd3648 ; //0.0560度*2^16
assign rot[11] = 32'd1856 ; //0.0280度*2^16
assign rot[12] = 32'd896 ; //0.0140度*2^16
assign rot[13] = 32'd448 ; //0.0070度*2^16
assign rot[14] = 32'd256 ; //0.0035度*2^16
assign rot[15] = 32'd128 ; //0.0018度*2^16
//FSM_parameter
localparam IDLE = 2'd0;
localparam WORK = 2'd1;
localparam ENDO = 2'd2;
reg [1:0] state ;
reg [1:0] next_state ;
reg [3:0] cnt;
always @(posedge sys_clk or negedge sys_rst)begin
if(!sys_rst)
next_state <= IDLE;
else begin
state <= next_state;
case(state)
IDLE:next_state <= WORK;
WORK:next_state <= cnt == 15 ? ENDO:WORK;
ENDO:next_state <= IDLE;
default:next_state <= IDLE;
endcase
end
end
reg signed [31:0] x_shift;
reg signed [31:0] y_shift;
reg signed [31:0] z_rot;
wire D_sign;
assign D_sign= z_rot[31];
always @(posedge sys_clk) begin
case(state)
IDLE:
begin
x_shift <= 32'd39800;
y_shift <= 32'd0;
z_rot <= (angle<<16);
end
WORK:
if(D_sign)begin
x_shift <= x_shift + (y_shift>>>cnt);
y_shift <= y_shift - (x_shift>>>cnt);
z_rot <= z_rot + rot[cnt];
end
else begin
x_shift <= x_shift - (y_shift>>>cnt);
y_shift <= y_shift + (x_shift>>>cnt);
z_rot <= z_rot - rot[cnt];
end
ENDO:
begin
cosout <= x_shift;
sinout <= y_shift;
end
default :;
endcase
end
always @(posedge sys_clk or negedge sys_rst) begin
if(!sys_rst)
cnt <= 4'd0;
else if(state == IDLE && next_state == WORK)
cnt <= 4'd0;
else if(state==WORK)begin
if(cnt<4'd15)
cnt <= cnt + 1'b1;
else
cnt <= cnt;
end
else
cnt <= 4'd0;
end
endmodule
設定多種角度值，模擬如下圖：
在Cordic—向量模式下，Matlab程式碼實現：
點選檢視程式碼
%% ***********************************************************************************
% 圓座標系下：Cordic—向量模式
% 已知座標，用cordic演算法計算相角和幅值。基本公式如下：
% x(k+1) = x(k) - d(k)*y(k)*2^(-k)
% y(k+1) = y(k) + d(k)*x(k)*2^(-k)
% z(k) = z(k) - d(k)*actan(2^(-k))
%% ***********************************************************************************
clear;close all;clc;
% 初始化----------------------------------------
Xn = -1;
Yn = sqrt(3);
Zi = 0;
Di = 0;
N = 16; %迭代次數
tan_table = 2.^-(0 : N-1);
angle_LUT = atan(tan_table);
An = 1;
for k = 0 : N-1
An = An*(1/sqrt(1 + 2^(-2*k)));
end
Kn = 1/An;%計算歸一化伸縮因子引數：Kn = 1.6476,1/Kn = 0.6073
% cordic演算法計算-------------------------------
if (Xn==0 && Yn==0) %移至原點，未旋轉角度
radian_out = 0;
amplitude_out = 0;
else % 先做象限判斷，得到相位補償值
if (Xn > 0) %第一、四象限：（-pi/2,0）/(0,pi/2)-->Zn
phase_shift = 0;
elseif (Yn < 0) %第三象限：(-pi,-pi/2)-->預旋轉-pi,Zn+pi/2
phase_shift = -pi;
else %第二象限：(pi/2,pi)-->預旋轉pi,Zn-pi/2
phase_shift = pi;
end
for k = 0 : N-1 % 迭代開始
Di = -sign(Xn*Yn);
x_temp = Xn;
Xn = x_temp - Di*Yn*2^(-k);
Yn = Yn + Di*x_temp*2^(-k);
Zi = Zi - Di*angle_LUT(k+1);
end
radian_out = Zi + phase_shift; %弧度輸出
amplitude_out = abs(Xn)/Kn; %幅值輸出
end
angle_out = radian_out*180/pi; %相角輸出：角度（度）=角度（弧度)x pi/180
Verilog HDL在向量模式下，程式：
點選檢視程式碼
module Cordic_vector_mode(
input sys_clk ,
input sys_rst ,
input signed [31:0] x ,
input signed [31:0] y ,
output reg [31:0] phase ,
output reg [31:0] mo_value
);
//旋轉角度查詢表
wire [31:0]rot[15:0];
assign rot[0] = 32'd2949120 ; //45.0000度*2^16
assign rot[1] = 32'd1740992 ; //26.5651度*2^16
assign rot[2] = 32'd919872 ; //14.0362度*2^16
assign rot[3] = 32'd466944 ; //7.1250度*2^16
assign rot[4] = 32'd234368 ; //3.5763度*2^16
assign rot[5] = 32'd117312 ; //1.7899度*2^16
assign rot[6] = 32'd58688 ; //0.8952度*2^16
assign rot[7] = 32'd29312 ; //0.4476度*2^16
assign rot[8] = 32'd14656 ; //0.2238度*2^16
assign rot[9] = 32'd7360 ; //0.1119度*2^16
assign rot[10] = 32'd3648 ; //0.0560度*2^16
assign rot[11] = 32'd1856 ; //0.0280度*2^16
assign rot[12] = 32'd896 ; //0.0140度*2^16
assign rot[13] = 32'd448 ; //0.0070度*2^16
assign rot[14] = 32'd256 ; //0.0035度*2^16
assign rot[15] = 32'd128 ; //0.0018度*2^16
//FSM_parameter
localparam IDLE = 2'd0;
localparam WORK = 2'd1;
localparam ENDO = 2'd2;
reg [1:0] state ;
reg [1:0] next_state ;
reg [3:0] cnt;
reg signed [31:0] x_shift;
reg signed [31:0] y_shift;
reg signed [31:0] z_rot;
always @(posedge sys_clk or negedge sys_rst)begin
if(!sys_rst)
next_state <= IDLE;
else begin
state <= next_state;
case(state)
IDLE:next_state <= WORK;
WORK:next_state <= cnt == 15 ? ENDO:WORK;
ENDO:next_state <= IDLE;
default:next_state <= IDLE;
endcase
end
end
wire D_sign;
assign D_sign=~y_shift[31];
always @(posedge sys_clk) begin
case(state)
IDLE:
begin
x_shift <= x;
y_shift <= y;
z_rot <= 0;
end
WORK:
if(D_sign)begin
x_shift <= x_shift + (y_shift>>>cnt);
y_shift <= y_shift - (x_shift>>>cnt);
z_rot <= z_rot + rot[cnt];
end
else begin
x_shift <= x_shift - (y_shift>>>cnt);
y_shift <= y_shift + (x_shift>>>cnt);
z_rot <= z_rot - rot[cnt];
end
ENDO:
begin
phase <= z_rot>>>16;
mo_value <= (x_shift>>>16)*0.6073;
end
default :;
endcase
en
always @(posedge sys_clk or negedge sys_rst) begin
if(!sys_rst)
cnt <= 4'd0;
else if(state == IDLE && next_state == WORK)
cnt <= 4'd0;
else if(state==WORK)begin
if(cnt<4'd15)
cnt <= cnt + 1'b1;
else
cnt <= cnt;
end
else
cnt <= 4'd0;
end
endmodule
設定三種不同x，y值，模擬如下圖：
本篇文章中使用的Verilog程式模組，若有需見網頁左欄Gitee倉庫連結：https://gitee.com/silly-big-head/little-mouse-funnyhouse/tree/FPGA-Verilog/