每次面試都會被問，什麼是紅黑樹？

前言

理解紅黑樹需要掌握下面知識

二分查詢演算法
二叉查詢樹
自平衡樹（AVL樹和紅黑樹）

基於二分演算法設計出了二叉查詢樹，為了彌補二叉查詢樹傾斜缺點，又出現了一些自平衡樹，比如AVL樹，紅黑樹等。

二分查詢演算法

在40億資料中查詢一個指定資料最多隻需要32次，這就是二分查詢演算法的魅力。

二分查詢演算法（又叫折半查詢演算法）是一種在有序陣列中查詢某一特定元素的搜尋演算法。注意有序陣列的前提。

下圖中查詢 4 ，查詢從中間元素開始 4 < 7 ，從左邊查詢 4 > 3 ，從右邊查詢 4 < 6，然後找到元素。

二分查詢演算法時間和空間複雜度，$ {n} $ 是陣列長度。

平均時間複雜度 $ {O(\log n)} $

最壞時間複雜度 $ {O(\log n)} $

最優時間複雜度 $ {O(1)} $

迴圈空間複雜度 $ {O(1)} $

遞迴空間複雜度 $ {O(\log n)} $

Java 遞迴實現二分查詢。

    public static int binarySearch(int[] arr, int start, int end, int hkey) {
        if (start > end) {
            return -1;
        }
        int mid = start + (end - start) / 2;    //防止溢位
        if (arr[mid] > hkey) {
            return binarySearch(arr, start, mid - 1, hkey);
        }
        if (arr[mid] < hkey) {
            return binarySearch(arr, mid + 1, end, hkey);
        }
        return mid;
    }

Java 迴圈實現二分查詢。

    public static int binarySearch(int[] arr, int start, int end, int hkey) {
        int result = -1;
        while (start <= end) {
            int mid = start + (end - start) / 2;    //防止溢位
            if (arr[mid] > hkey) {
                end = mid - 1;
            } else if (arr[mid] < hkey) {
                start = mid + 1;
            } else {
                result = mid;
                break;
            }
        }
        return result;
    }

二叉查詢樹

二叉查詢樹（Binary Search Tree，簡稱BST）是一棵二叉樹，它具有以下性質：

若任意節點的左子樹不空，則左子樹上所有節點的值都小於它的根節點的值；
若任意節點的右子樹不空，則右子樹上所有節點的值都大於它的根節點的值；
任意節點的左、右子樹也分別為二叉查詢樹。

二叉樹：每個節點最多隻有兩個分支，分別稱為“左子樹”或“右子樹”。

二叉查詢樹操作（搜尋，插入，刪除）效率依賴樹高度。

最壞情況，樹向一邊傾斜，樹高度 $n$ （節點數量），此時操作時間複雜度為 $O(n)$

理想情況，樹高度 $log(n)$ ，操作時間複雜度 $O(log(n))$ ，此時它是一棵平衡的二叉查詢樹。

理想平衡

演算法	平均	最差
空間	O(n)	O(n)
搜尋	O(log n)	O(n)
插入	O(log n)	O(n)
刪除	O(log n)	O(n)

為了讓二叉查詢樹儘可能達到理想情況，出現了一些自平衡二叉查詢樹，如AVL樹和紅黑樹。

AVL樹

AVL樹中的每個節點都有一個平衡因子屬性（左子樹高度減去右子樹高度）。每次元素插入刪除操作後，會重新進行平衡計算，如果節點平衡因子不為 [1,0,-1] 時，需要通過旋轉使樹到達平衡。AVL 樹中有 4 種旋轉操作。

左旋（Left Rotation）
右旋（RightRotation）
左右旋轉（Left-Right Rotation）
左右旋轉（Right-Left Rotation）

AVL_Tree_Example

下面是 Java AVL 樹的例子

    private Node insert(Node node, int key) {
          .....
        return rebalance(node); // 重新平衡計算
    }

    private Node delete(Node node, int key) {
          .....
        node = rebalance(node); // 重新平衡計算
        return node;
    }

        private Node rebalance(Node z) {
        updateHeight(z);
        int balance = getBalance(z);
        if (balance > 1) {
            if (height(z.right.right) > height(z.right.left)) {
                z = rotateLeft(z);
            } else {
                z.right = rotateRight(z.right);
                z = rotateLeft(z);
            }
        } else if (balance < -1) {
            if (height(z.left.left) > height(z.left.right)) {
                z = rotateRight(z);
            } else {
                z.left = rotateLeft(z.left);
                z = rotateRight(z);
            }
        }
        return z;
    }

https://github.com/eugenp/tut...

紅黑樹

性質

紅黑樹中的每個節點都有一個顏色屬性。每次元素插入刪除操作後，會進行重新著色和旋轉達到平衡。

紅黑樹屬於二叉查詢樹，它包含二叉查詢樹性質，同時還包含以下性質：

每個節點要麼是黑色，要麼是紅色。
所有的葉子節點（NIL）被認為是黑色的。
每個紅色節點的兩個子節點一定都是黑色（不會出現兩個連續紅色節點）。
從根到葉子節點（NIL）的每條路徑都包含相同數量的黑色節點。

Red-black_tree_example

查詢

查詢不會破壞樹的平衡，邏輯也比較簡單，通常有以下幾個步驟。

從根節點開始查詢，把根節點設定為當前節點；
當前節點為空，返回null；
當前節點不為空，查詢key小於當前節點key，左子節點設為當前節點。
當前節點不為空，查詢key大於當前節點key，右子節點設為當前節點。
當前節點不為空，查詢key等於當前節點key，返回當前節點。

程式碼實現可以參考 Java 裡面的 TreeMap。

    Entry<K,V> p = root;
    while (p != null) {
        int cmp = k.compareTo(p.key);
        if (cmp < 0){
            p = p.left;
    }else if (cmp > 0){
      p = p.right;
    }else{
          return p;
    }
  }
    return null;

插入

插入操作分兩大塊：一查詢插入位置；二插入後自平衡。

將根節點賦給當前節點，迴圈查詢插入位置的節點；
當查詢key等於當前節點key，更新節點儲存的值，返回；
當查詢key小於當前節點key，把當前節點的左子節點設定為當前節點；
當查詢key大於當前節點key，把當前節點的右子節點設定為當前節點；
迴圈結束後，構造新節點作為當前節點左(右)子節點；
通過旋轉變色進行自平衡。

程式碼實現可以參考 Java 裡面的 TreeMap。

    Entry<K,V> t = root;
  Entry<K,V> parent;
    int cmp;
    do {
        parent = t;
        cmp = k.compareTo(t.key);
    if (cmp < 0){
            t = t.left; 
    }else if (cmp > 0){
            t = t.right;
    }else {
            return t.setValue(value);   // 更新節點的值，返回
    }
  } while (t != null);

    Entry<K,V> e = new Entry<>(key, value, parent);
        if (cmp < 0){
          parent.left = e;
        }else {
            parent.right = e;  
    }
  fixAfterInsertion(e); // 通過旋轉變色自平衡

插入場景分析