題意：樹，邊有邊權，求一種選出 \(k\) 個點染色的方案，使得每個點到最近的一個被染色點的距離的最大值最小，\(n\le2\cdot10^5\).
Solution
先看部分分：
- \(n\le 20\)：直接 \(C_n^k\) 爆搜.
- \(k=1\)：對每個點 \(u\) 求出 \(f(u)\) 和 \(g(u)\) 分別表示 \(u\) 到子樹內點距離的最大值、\(u\) 到子樹外點距離的最大值. 這是可以轉移的：\(f(u)\) 從兒子轉移而來，\(g(u)\) 從父親的 \(g\) 和兄弟的 \(f+w(v,fa(v))\) 的前字尾最大值得到.
- 鏈：二分答案，發現 check 直接貪心地染色即可.
我們從鏈的部分分類似地推廣，考慮樹能不能貪心地染色. 感受一下，發現其實是可以的！策略大概是我們想要染色點儘量靠上。
具體地說，我們二分 \(x\) 表示最大距離為 \(x\)，定義 \(u\) 被已經染色的 \(v\) “覆蓋”當且僅當它們距離 \(\le x\)，問題變成了選最少的點染色使得整棵樹被覆蓋.
考慮自底向上地貪心染色，每次想要一棵子樹被覆蓋. 記 \(mx(u)\) 為 \(u\) 子樹內未被覆蓋的點與 \(u\) 距離的最大值，\(u\) 必須染色的條件大概就是 \(mx(u)\le x\) 且 \(mx(u)+w(u,fa(u))>x\)，現在問題變成了維護 \(mx(u)\).
\(mx(u)\) 可以從兒子得到，於是一個簡單的想法是 \(mx(u)=\max_{v\in son(u)}\{mx(v)+w(u,v)\}\). 但是有個 bug：可能 \(u\) 子樹中的點被 \(u\) 兄弟子樹中的染色點所覆蓋！
發現這也是好修的：再記 \(mn(u)\) 為 \(u\) 子樹內距離 \(u\) 最近的染色點的距離，顯然 \(mn\) 可以轉移，而 \(mx\) 再加個關於 \(mn\) 的條件就行了.
上面是思路，下面是具體式子與細節：
\(u\) 被染色的條件：\(mx(u)+w(u,fa(u))>x\)
\(u\) 被染色時，\(mx(u)=-\inf,mn(u)=0\)
注意初始 \(mx=-\inf,mn=\inf\)
特判：根的 \(mn\) 不為 \(\inf\) 時必須得染色.
最後輸出答案時，若點數不足 \(k\)，就再隨便亂選幾個點湊足 \(k\) 即可.
時間：\(O(n\log V)\)，\(V\) 為值域（1e9）