要解決的問題
假設有一個源源吐出不同球的機器， 只有裝下10個球的袋子，每一個吐出的球，要麼放入袋子，要麼永遠扔掉,如何做到機器吐出每一個球之後，所有吐出的球都等概率被放進袋子裡
規則
吐出1到10號球，完全入袋, 引入隨機函式f(i)，提供一個值i，等概率返回1-i的一個數字, 當K號球吐出的時候（K>10) ,我們通過以下決策決定是否要入袋
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引入隨機函式：f(K) , 如果返回10以內的數，則入袋，如果返回10以外的數，則扔掉, 即：10/K的概率決定球是否入袋。
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第一步中如果決定入袋，那麼袋子中已經存在的球以等概率丟棄一個。
證明
情況1
當K為1～10號的時候，根據我們的規則，入袋概率100%，每個球等概率
情況2
當K為任意一個大於10的數，我們假設K為927，即：當927這個編號的球吐出來的時候，我們考慮：
A. 1 ～ 10 號球的入袋概率
B. 大於10號小於等於927號球的入袋概率
如果A和B都可以說明等概率
那麼可以推廣到普遍情況都是等概率的。
A情況，927號球到來的時候，我們可以考慮一下5號球的入袋概率是多少？
5號球需要存活到927號球到來，必須滿足：
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11號球來的時候，5號球活下來
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12號球來的時候，5號球活下來
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...
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926號球來的時候，5號球活下來
11號球來的時候，5號球怎麼活下來呢？先看一下，11號球到來，5號球如果沒有活下來的概率q，那麼5號球活下來的概率就是 1 - q
首先，根據我們的規則，11號球要以10/11概率被選中入袋，且5號球要以非常倒黴的情況1/10概率被選中要替換，那麼，11號球到來，5號球被替換的概率為：
(10/11 * 1/10) = 1/11
那麼5號球活下來的概率就是
1 - 1/11 = 10/11
12號球到來的時候，5號球活下來的概率同理，可以計算出為11/12
13號球到來的時候，5號球活下來的概率同理，可以計算出為12/13
....
927號球到來的時候，5號球活來的概率同理：可以計算出為926/927
所以，5號球活下來的概率為：
10/11 * 11/12 * 12/13 ... * 925/926 * 926/927 = 10/927
同理，1 ～ 10 號球任意一號都可以按照5號球的計算方式計算，概率均為：10/927
A情況是等概率的
再看B情況，我們可以假設一個大於10但是小於927的球，比如，15號球，考慮入袋概率
15號球要在927號球到來的時候，還在袋子中，則需要保證：
15號球在當時被吐出的時候，以10/15概率被選中，且在
16號球到來的時候，15號球活下來，概率根據A的計算邏輯，為15/16
17號球到來的時候，15號球活下來, 同理，為16/17
....
926號球到來的時候，15號球活下來，概率為925/926
927號球到來的時候，15號球活下來，概率為926/927
所以，927號球到來的時候，15號球活下來的概率是：
10/15 * 15/16 * 16/17 .... * 925/926 * 926/927 = 10/927
同理，任意大於10小於927號球的概率都可以根據15號球的計算邏輯推算出來，均為10/927
A情況和B情況概率都是10/927
所以規則滿足了題目的要求。
程式碼
public class Code_0058_ReservoirSampling {
public static class RandomBox {
private int[] bag;
// 袋子容量
private int capacity;
// 第幾號球
private int count;
public RandomBox(int capacity) {
bag = new int[capacity];
this.capacity = capacity;
count = 0;
}
// 隨機函式，等概率生成1-max之間隨機的一個數字
// Math.random() -> 生成[0,1)範圍內的數
// (int)i 是對i進行向下取整
private int rand(int max) {
return (int) (Math.random() * max) + 1;
}
public void add(int num) {
// 球個數增加
count++;
// 如果球的個數沒有超過容量
if (count <= capacity) {
// 則入袋
bag[count - 1] = num;
} else if (rand(count) <= capacity) {
// 否則以N/count的概率入袋
bag[rand(capacity) - 1] = num;
}
}
// 返回袋子中最終選中的球
public int[] choices() {
int[] res = new int[capacity];
System.arraycopy(bag, 0, res, 0, capacity);
return res;
}
}
}