P4629 [SHOI2015] 聚變反應爐

霸气的帝王蟹發表於2024-07-27

題目

傳送門

\(d_i\) 表示初始使用的能量，如果你處理了這個點，就可以把相鄰的點所需的能量減去 \(c_i\)

思路

前 \(50\%\) 的資料為 \(\max\{c_i\}=1,n\le10^5\)

因為最大的 \(c_i\) 只有 \(1\)，我們可以考慮貪心

首先，我們肯定先處理 \(c_i=1\) 的點，我們要考慮處理的順序，不管順序怎麼變，遲早會把該節省的節省掉

int sum = 0;
for (int i = 1; i <= n; ++i)
{
    if (c[i] == 0)
        continue;
    vis[i] = 1;
    for (int v : e[i])
        if (!vis[v]) --d[v];
}
for (int i = 1; i <= n; ++i)
    sum += max(d[i], 0);

後 \(50\%\) 的資料，我們就要考慮使用樹形dp (就是個揹包)

定義

\(f[u][0/1]\) 表示當前節點是否在父節點之前處理完

\(g[i][0/1]\) 表示節省 \(i\) 元的最小花費

對於 \(g\) 的詳細操作

int sz = c[fa];
for (int i = 0; i <= sz; ++i) g[i][0] = g[i][1] = inf;
g[0][1] = g[c[fa]][0] = 0;
for (int v : e[u])
{
    if (v == fa) continue;
    for (int i = sz + 1; i <= sz + c[v]; ++i) g[i][0] = g[i][1] = inf;
    sz += c[v];
    for (int i = sz; i >= 0; --i)
    {
        if (i < c[v])
        {
            g[i][0] += f[v][0];
            g[i][1] += f[v][0];
        }else
        {
            g[i][0] = min(f[v][0] + g[i][0], f[v][1] + g[i - c[v]][0]);
            g[i][1] = min(f[v][0] + g[i][1], f[v][1] + g[i - c[v]][1]);
        }
    }
}

得到\(g\)之後就好處理了，我們可寫出如下轉移

\(\displaystyle f[u][0] = \min_{i=1}^{sz}\{g[i][0]+\max\{0,d[u]-i\}\}\)

\(\displaystyle f[u][1] = \min_{i=1}^{sz}\{g[i][1]+\max\{0,d[u]-i\}\}\)

程式碼

#include <bits/stdc++.h>  
  
#define ll long long  
#define PII pair<int, int>  
using namespace std;  
const int inf = 0x3f3f3f3f;  
const int MOD = 1e9 + 7, N = 1e5 + 5;  
int n, d[N], c[N];  
vector<int> e[N];  
namespace pts1  
{  
    int f[N][2], g[N][2];  
    void dfs(int u, int fa)  
    {  
        for (int v: e[u])  
        {  
            if (v == fa) continue;  
            dfs(v, u);  
        }  
        int sz = c[fa];  
        for (int i = 0; i <= sz; ++i) g[i][0] = g[i][1] = inf;  
        g[0][1] = g[c[fa]][0] = 0;  
        for (int v: e[u])  
        {  
            if (v == fa) continue;  
            for (int i = sz + 1; i <= sz + c[v]; ++i) g[i][0] = g[i][1] = inf;  
            sz += c[v];  
            for (int i = sz; i >= 0; --i)  
            {  
                if (i < c[v])  
                {  
                    g[i][0] += f[v][0];  
                    g[i][1] += f[v][0];  
                } else  
                {  
                    g[i][0] = min(f[v][0] + g[i][0], f[v][1] + g[i - c[v]][0]);  
                    g[i][1] = min(f[v][0] + g[i][1], f[v][1] + g[i - c[v]][1]);  
                }  
            }  
        }  
        f[u][0] = g[0][0] + d[u], f[u][1] = g[0][1] + d[u];  
        for (int i = 1; i <= sz; ++i)  
        {  
            f[u][0] = min(f[u][0], g[i][0] + max(0, d[u] - i));  
            f[u][1] = min(f[u][1], g[i][1] + max(0, d[u] - i));  
        }  
    }  
    void solve()  
    {  
        dfs(1, 0);  
        printf("%d", f[1][1]);  
    }  
};  
  
namespace pts2  
{  
    int vis[N];  
  
    void solve()  
    {  
        int sum = 0;  
        for (int i = 1; i <= n; ++i)  
        {  
            if (c[i] == 0)  
                continue;  
            vis[i] = 1;  
            for (int v: e[i])  
                if (!vis[v]) --d[v];  
        }  
        for (int i = 1; i <= n; ++i)  
            sum += max(d[i], 0);  
        printf("%d", sum);  
    }  
};  
  
  
signed main()  
{  
    int maxx = 0;  
    scanf("%d", &n);  
    for (int i = 1; i <= n; ++i)  
        scanf("%d", &d[i]);  
    for (int i = 1; i <= n; ++i)  
        scanf("%d", &c[i]), maxx = max(maxx, c[i]);  
    for (int i = 1, u, v; i < n; ++i)  
    {  
        scanf("%d%d", &u, &v);  
        e[u].push_back(v);  
        e[v].push_back(u);  
    }  
    if (maxx <= 1) pts2::solve();  
    else pts1::solve();  
    return 0;  
}

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