KMP
幾個定義：
- \(pre_i = s[1, i]\)，\(suf_i = s[n - i + 1, n]\)。
- \(p\) 是 \(s\) 的 border 當且僅當 \(pre_p = suf_p\)，特殊的，\(n\) 一定是 \(s\) 的 border。
- \(p\) 是 \(s\) 的 週期 當且僅當 \(\forall i > p,\ s_i = s_{i - p}\)，特殊的，\(n\) 一定是 \(s\) 的 週期。
- 週期 \(p\) 是 \(s\) 的 迴圈節 當且僅當 \(p \mid n\)，特殊的，\(n\) 一定是 \(s\) 的 迴圈節。
定理1：\(p\) 是 \(s\) 的週期等價於 \(n - p\) 是 \(s\) 的 border。
證明：\(q\) 是 \(s\) 的 border：\(s_1 = s_{n - q + 1}, \cdots, s_q = s_n\)。不難得到 \(n - q\) 是 \(s\) 的週期。
注意：border 沒有二分性。
border 的暴力求法：列舉 \(1 \le i \le n\)，檢驗是否有 \(pre_i = suf_i\)，時間複雜度 \(O(n^2)\)。
優雅的暴力：雜湊 \(O(1)\) 判定前字尾相等。缺點：常數大，會被卡。
定理2：\(s\) 的 border 的 border 也是 \(s\) 的 border。
證明：畫個圖很好理解。
推論：求 \(s\) 的所有 border 等價於求所有字首的最大 border。
\(p = n\) 是 \(s\) 的最大 border，然後我們要求 \(p\) 的最大（不為本身） border，化歸為子問題。
Next 陣列
定義：\(ne_i\) 表示 \(pre_i\) 的最大非平凡 border，其中 \(ne_1 = 0\)。
不難發現 \(pre_i\) 的所有 border 減 \(1\) 一定是是 \(pre_{i - 1}\) 的 border。
因此我們依次檢查 \(ne_{i - 1}, ne_{ne_{i - 1}}\cdots\) （即 \(pre_{i - 1}\) 的所有 border）的下一位是否等於 \(s_i\)，以此遞推出 \(ne_i\)。
時間複雜度分析：