字串專題

Abnormal123發表於2024-04-16
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字串專題

B - Yet Another LCP Problem

相似題目差異

題目主要內容就是求 $ \sum lcp(T_i,T_j) $

利用字尾自動機，並求height陣列。

我們發現，統計答案的先後順序是沒有影響的，我們不妨用排序後的順序統計。

\[lcp(i,j)=\min_{k=i}^{j}\{ height[k] \} \]

發現這是具有單調性的。

我們用單調棧維護一段的最小height，直接掃過去，統計答案即可。

注意特判空棧就好。複雜度 $ O(n) $

CODE 
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
const int N=5e5+100;
int n,q,k,l,a,b,m;
char s[N];
int sa[N],rak[N],tax[N],tp[N],sum,ans,height[N];
int qs[N];
struct solve{
	int id,val;
};
stack<solve>st;
void qsort(){
	memset(tax,0,sizeof(tax));
	for(int i=1;i<=n;i++)tax[rak[i]]++;
	for(int i=1;i<=m;i++)tax[i]+=tax[i-1];
	for(int i=n;i>=1;i--)sa[tax[rak[tp[i]]]--]=tp[i];
}
void suffixsort(){
	m=200;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		rak[i]=s[i];
		tp[i]=i;
	}
	qsort();
	for(int w=1,p=0;p<n;w<<=1,m=p){
		p=0;
		for(int i=1;i<=w;i++)tp[++p]=n-w+i;
		for(int i=1;i<=n;i++)
		if(sa[i]>w)tp[++p]=sa[i]-w;
		qsort();swap(rak,tp);
		rak[sa[1]]=p=1;
		for(int i=2;i<=n;i++){
			rak[sa[i]]=(tp[sa[i]]==tp[sa[i-1]]&&tp[sa[i]+w]==tp[sa[i-1]+w])?p:++p;
		}
	}
}
void get_height(){
	int j,k=0;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		if(k)k--;
		j=sa[rak[i]-1];
		while(s[i+k]==s[j+k])k++;
		height[rak[i]]=k;
	}
}
signed main()
{
	scanf("%s",s+1);
	n=strlen(s+1);
	suffixsort();
	get_height();
	for(int i=n;i>=1;i--){
		qs[i]=qs[i+1]+i;
	}
	for(int i=1;i<n;i++)ans+=qs[i+1];
	for(int i=1;i<n;i++)ans+=i*(n-i);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		while(!st.empty()&&st.top().val>height[i]){
			solve k=st.top();
			st.pop();
			sum-=k.val*(k.id-st.top().id);
		}
		if(!st.empty())
		sum+=height[i]*(i-st.top().id);
		else sum+=height[i]*(i-1);
		st.push(solve{i,height[i]});
		ans-=2*sum;
	}
	cout<<ans<<endl;
}

正解

透過上一題後，這題就好理解多了。

我們將a陣列和b陣列合併為一個大陣列，由於不一定連貫，我們用ST表處理每兩個之間height最小值，然後類似於上一題的做法，最後還要去重，因為貢獻中多計算a與自身和b與自身。

CODE 
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
const int N=5e5+100;
int n,q,k,l,a[N],b[N],m;
char s[N];
int sa[N],rak[N],tax[N],tp[N],height[N];
int v[N];
int st[20][N],lg[N];
int sum,ans;
int minn[N];
stack<int>sta;
void qsort(){
	memset(tax,0,sizeof(tax));
	for(int i=1;i<=n;i++)tax[rak[i]]++;
	for(int i=1;i<=m;i++)tax[i]+=tax[i-1];
	for(int i=n;i>=1;i--)sa[tax[rak[tp[i]]]--]=tp[i];
}
void suffixsort(){
	m=200;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		rak[i]=s[i];
		tp[i]=i;
	}
	qsort();
	for(int w=1,p=0;p<n;w<<=1,m=p){
		p=0;
		for(int i=1;i<=w;i++)tp[++p]=n-w+i;
		for(int i=1;i<=n;i++)
		if(sa[i]>w)tp[++p]=sa[i]-w;
		qsort();swap(rak,tp);
		rak[sa[1]]=p=1;
		for(int i=2;i<=n;i++){
			rak[sa[i]]=(tp[sa[i]]==tp[sa[i-1]]&&tp[sa[i]+w]==tp[sa[i-1]+w])?p:++p;
		}
	}
}
void get_height(){
	int j,k=0;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		if(k)k--;
		j=sa[rak[i]-1];
		while(s[i+k]==s[j+k])k++;
		height[rak[i]]=k;
	}
}
bool cmp(int x,int y){
	return rak[x]<rak[y];
}
int solve(int x[],int len){
	int w;
	w=lg[x[1]];
	minn[1]=min(st[w][1],st[w][x[1]-(1<<w)]);
	for(int i=2;i<=len;i++){
		w=lg[x[i]-x[i-1]];
		if(x[i]==x[i-1])minn[i]=n-sa[x[i]]+1;
		else
		minn[i]=min(st[w][x[i-1]+1],st[w][x[i]-(1<<w)+1]);
	}
	// for(int i=1;i<=len;i++)cout<<minn[i]<<endl;
	while(!sta.empty())sta.pop();
	m=sum=0;
	for(int i=1;i<=len;i++){
		while(!sta.empty()&&minn[sta.top()]>minn[i]){
			int w=sta.top();
			sta.pop();
			sum-=minn[w]*(w-sta.top());
		}
		if(!sta.empty())sum+=minn[i]*(i-sta.top());
		else sum+=minn[i]*(i-1);
		sta.push(i);
		m+=sum;
	}
	return m;
}
signed main()
{
	scanf("%d%d",&n,&q);
	scanf("%s",s+1);
	suffixsort();
	get_height();
	for(int i=2;i<N;i++){
		lg[i]=lg[i>>1]+1;
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		st[0][i]=height[i];
	}
	for(int i=1;i<=lg[n]+1;i++){
		for(int j=1;j+(1<<i)-1<=n;j++){
			st[i][j]=min(st[i-1][j],st[i-1][j+(1<<(i-1))]);
		}
	}
	while(q--){
		scanf("%d%d",&k,&l);
		for(int i=1;i<=k;i++){
			scanf("%d",&a[i]);
			v[i]=a[i];
		}
		for(int i=1;i<=l;i++){
			scanf("%d",&b[i]);
			v[k+i]=b[i];
		}
		sort(v+1,v+k+l+1,cmp);
		sort(a+1,a+k+1,cmp);
		sort(b+1,b+l+1,cmp);
		for(int i=1;i<=k;i++)a[i]=rak[a[i]];
		for(int i=1;i<=l;i++)b[i]=rak[b[i]];
		for(int i=1;i<=k+l;i++)v[i]=rak[v[i]];
		printf("%lld\n",solve(v,k+l)-solve(a,k)-solve(b,l));
	}
}

G - x-prime Substrings

AC自動機+DP

發現X非常小，我們列舉所有可能的"x-prime"串,放在AC自動機上，並拿字串s匹配，如果一個節點是某個"x-prime"串的最後一個字元，打上flag標記。現在問題成為：s在自動機上匹配，不能經過flag標記，最少需要刪掉幾個字元。

有以下DP方程：

\[dp[i][v]=\min\{dp[i-1][u],dp[i-1][v]+1 \}(!flag[v]) \]

當前節點可以由其父親節點轉移，也可以刪除當前節點，由自身轉移。

可以特判根節點的情況。

CODE 
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1100;
int x,n;
char s[N];
vector<int>h_pri;
char t[N<<2][N],k[N];
int p,num,len[N<<2],dp[N][N<<3];
int cnt=1;
struct AC{
	int son[30],fail;
	bool flag;
}trie[N<<5];
void dfs(int tot){
	if(tot==x){
		for(int i=1;i<=p;i++){
			int sum=0;
			for(int j=i;j<=p;j++){
				sum+=k[j]-'0';
				if(x%sum==0&&x!=sum)return ;
			}
		}
		num++;
		for(int i=1;i<=p;i++){
			t[num][i]=k[i];
		}
		len[num]=p;
	}
	if(tot>=x)return ;
	for(auto i:h_pri){
		k[++p]='0'+i;
		dfs(tot+i);
		p--;
	}
}
void insert(int a){
	int u=1;
	for(int i=1;i<=len[a];i++){
		if(!trie[u].son[t[a][i]-'0']){
			trie[u].son[t[a][i]-'0']=++cnt;
		}
		u=trie[u].son[t[a][i]-'0'];
	}
	trie[u].flag=1;
}
void getfail(){
	for(int i=1;i<=9;i++)trie[0].son[i]=1;
	queue<int>q;
	q.push(1);
	while(!q.empty()){
		int u=q.front();
		q.pop();
		for(int i=1;i<=9;i++){
			int v=trie[u].son[i];
			int fail=trie[u].fail;
			if(!v){
				trie[u].son[i]=trie[fail].son[i];
				continue;
			}
			trie[v].fail=trie[fail].son[i];
			q.push(v);
		}
	}
}
int main()
{
	scanf("%s",s+1);
	n=strlen(s+1);
	scanf("%d",&x);
	for(int i=2;i<=min(x,9);i++){
		if(x%i!=0){
			h_pri.push_back(i);
		}
	}
	if(x<=9)h_pri.push_back(x);
	dfs(0);
	for(int i=1;i<=num;i++){
		insert(i);
	}
	getfail();
	memset(dp,0x3f,sizeof(dp));
	dp[0][1]=0;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=1;j<=cnt;j++){
			int v=trie[j].son[s[i]-'0'];
			dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[i-1][j]+1);
			if(j!=1){
				if(!trie[v].flag)
				dp[i][v]=min(dp[i][v],dp[i-1][j]);
			}
			else{
				if(v){
					if(!trie[v].flag)
					dp[i][v]=min(dp[i][v],dp[i-1][j]);
				}
				else dp[i][1]=min(dp[i][1],dp[i-1][1]+1);
			}
		}
	}
	int ans=INT_MAX;
	for(int i=1;i<=cnt;++i) ans=min(ans,dp[n][i]);
	cout<<ans<<'\n';
}

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