[NOIP2011 提高組] 聰明的質檢員

cxjy發表於2024-07-18

[NOIP2011 提高組] 聰明的質檢員

題目描述

小T 是一名質量監督員，最近負責檢驗一批礦產的質量。這批礦產共有 \(n\) 個礦石，從 \(1\) 到 \(n\) 逐一編號，每個礦石都有自己的重量 \(w_i\) 以及價值 \(v_i\) 。檢驗礦產的流程是：

  1. 給定$ m$ 個區間 \([l_i,r_i]\)；
  2. 選出一個引數 \(W\)；
  3. 對於一個區間 \([l_i,r_i]\)，計算礦石在這個區間上的檢驗值 \(y_i\)：

\[y_i=\sum\limits_{j=l_i}^{r_i}[w_j \ge W] \times \sum\limits_{j=l_i}^{r_i}[w_j \ge W]v_j \]

其中 \(j\) 為礦石編號。

這批礦產的檢驗結果 \(y\) 為各個區間的檢驗值之和。即：\(\sum\limits_{i=1}^m y_i\)

若這批礦產的檢驗結果與所給標準值 \(s\) 相差太多，就需要再去檢驗另一批礦產。小T 不想費時間去檢驗另一批礦產，所以他想透過調整引數 \(W\) 的值，讓檢驗結果儘可能的靠近標準值 \(s\)，即使得 \(|s-y|\) 最小。請你幫忙求出這個最小值。

輸入格式

第一行包含三個整數 \(n,m,s\)，分別表示礦石的個數、區間的個數和標準值。

接下來的 \(n\) 行，每行兩個整數，中間用空格隔開，第 \(i+1\) 行表示 \(i\) 號礦石的重量 \(w_i\) 和價值 \(v_i\)。

接下來的 \(m\) 行，表示區間，每行兩個整數，中間用空格隔開，第 \(i+n+1\) 行表示區間 \([l_i,r_i]\) 的兩個端點 \(l_i\) 和 \(r_i\)。注意：不同區間可能重合或相互重疊。

輸出格式

一個整數，表示所求的最小值。

樣例 #1

樣例輸入 #1

5 3 15 
1 5 
2 5 
3 5 
4 5 
5 5 
1 5 
2 4 
3 3

樣例輸出 #1

10

提示

【輸入輸出樣例說明】

當 \(W\) 選 \(4\) 的時候，三個區間上檢驗值分別為 \(20,5 ,0\) ，這批礦產的檢驗結果為 \(25\)，此時與標準值 \(S\) 相差最小為 \(10\)。

【資料範圍】

對於 $10% $ 的資料，有 \(1 ≤n ,m≤10\)；

對於 $30% $的資料，有 \(1 ≤n ,m≤500\) ；

對於 $50% $ 的資料，有 $ 1 ≤n ,m≤5,000$；

對於 \(70\%\) 的資料，有 \(1 ≤n ,m≤10,000\) ；

對於 \(100\%\) 的資料，有 $ 1 ≤n ,m≤200,000$，\(0 < w_i,v_i≤10^6\)，\(0 < s≤10^{12}\)，\(1 ≤l_i ≤r_i ≤n\) 。

解答過程:

  • 列舉每一個\(W\)可能的值,然後對於每一次區間上的檢驗,首先求出一個字首陣列,再利用字首陣列直接差分來求解區間上產品的價值
  • 如果不利用字首陣列的話,這個區間求價值度的時間複雜度就會達到 \(O(n*m)\) 最差情況下,利用字首和可以把每次查詢的時間複雜度由\(O(n)\)變為\(O(1)\)

AC程式碼

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define MAXN 200009
using i64 = long long;
i64 w[MAXN], l[MAXN], r[MAXN], v[MAXN];
i64 qian[MAXN], num[MAXN];

int main()
{
  i64 n, m, s;
  scanf("%lld %lld %lld", &n, &m, &s);
  i64 w_max;
  for (int i = 1; i <= n; i++)
  {
    scanf("%lld %lld", &w[i], &v[i]);
    i == 1 ? w_max = w[i] : w_max = std::max(w_max, w[i]);
  }
  for (int i = 1; i <= m; i++)
    scanf("%lld %lld", &l[i], &r[i]);
  auto _find = [&](int W)
  {
    for (int i = 0; i <= n; i++)
      qian[i] = 0, num[MAXN] = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
      qian[i] = qian[i - 1] + (w[i] >= W ? v[i] : 0);
      num[i] = num[i - 1] + (w[i] >= W ? 1 : 0);
    }
    i64 ans = 0;
    for (int _ = 1; _ <= m; _++)
    {
      i64 t1 = num[r[_]] - num[l[_] - 1];
      i64 t2 = qian[r[_]] - qian[l[_] - 1];
      ans += t1 * t2;
    }
    return ans;
  };
  i64 _left = 0, _right = w_max;
  i64 __MIN__ = LONG_LONG_MAX;
  while (1)
  {
    if (_left > _right)
      break;
    i64 mid = _left + (_right - _left) / 2;
    i64 ans = _find(mid);
    __MIN__ = std::min(__MIN__, abs(s - ans));
    if (_right == _left)
    {
      __MIN__ = std::min(__MIN__, abs(s - ans));
      break;
    }
    if (ans < s)
    {
      _right = mid ;
    }
    else if (ans > s)
    {
      _left = mid+1;
    }
    else
    {
      __MIN__ = 0;
      break;
    }
  }
  std::cout << __MIN__;
  return 0;
}

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