通俗易懂的P vs NP問題解釋 -@AlejandroPiad

banq發表於2021-01-08

在整個電腦科學中最重要的問題：P是否等於NP？
關於這個問題的正確的答案是什麼？我們仍然不知道，但是大多數電腦科學家認為P不等於NP。原因主要是哲學上的，但也有證據表明，如果P等於NP，則會發生很多奇怪的事情。
 

 P對NP問題是Steve Cook於1971年首次提出的。“P/NP問題”的P指多項式時間（Polynomial），一個複雜問題如果能在多項式時間內解決，那麼它便被稱為P問題，這意味著計算機可以在有限時間內完成計算；
NP指非確定性多項式時間（nondeterministic polynomial），一個複雜問題不能確定在多項式時間內解決，假如NP問題能找到演算法使其在多項式時間內解決，也就是證得了P=NP
- 百度百科

 
電腦科學就是尋找解決難題的巧妙方法。我們為其中的一些演算法找到了巧妙的演算法：對事物進行排序，找到最短路徑，求解方程式，模擬事務...。
但是有些問題似乎太難了，一個例子是旅行問題。
查詢從您的家鄉城市出發的自駕車之旅，希望訪問您所在國家/地區的所有主要城市，但是必須以最低的燃油費用返回家中。
這是我們希望計算機輕鬆解決的問題，對嗎？那就是計算機的用途！
好吧，非常聰明的人已經嘗試過了，沒有人想出一種總是比簡單地嘗試所有可能的迴圈更好的演算法。
問題在於，迴圈數的增長速度總是快於城市的增長速度！
讓我們更加輕鬆一些，如果我簡單地問：
是否可以旅行所有燃料費少於X美元的城市？
尚無人知道一種演算法，可以精確地針對任何X值回答該問題，而無需嘗試所有迴圈，而這又是指數級的。
那麼，我們是否很愚蠢？還是這個問題太複雜了，以至於在一般情況下不可能找到一個聰明的演算法來解決它？這是所有電腦科學中最重要的問題的根源：P vs NP。
 
回答這個問題比看起來要困難得多，您會看到，CS中的大多數問題都與事物有關：如何排序，如何比較，如何處理...
但這是一個元問題：
關於是否存在本質上很難解決的事物問題？
斯蒂芬·庫克（Stephen Cook）在電腦科學的早期試圖回答這個問題。他提出了以下定義：
假設我們有一個形式的問題：

是否存在具有指定屬性Q的物件X？
 
現在來看看這個問題的回答難度。以下是這種型別的簡單問題的一個示例：

給定一個由N個元素組成的陣列，是否有一個元素小於X？
回答這個問題很容易。逐個檢視每個元素，然後將其與X進行比較。對於任何可能的陣列，該過程最多需要N個步驟。
這是P中問題的一個示例。P在這裡表示“多項式時間複雜度”。直觀地講，如果存在一種演算法可以在多項式時間內計算出正確的答案，那麼它屬於P問題。
現在回到旅行推銷員，假設我給您一個答案：

是的，這是一個燃料成本小於X的迴圈。
您如何驗證答案的正確性？您只需累計迴圈中所有邊/路線的成本。這會再次需要N步計算才能得到答案。

 
下面這是NP問題的一個例子。此處的NP表示“不確定的多項式-時間複雜度”。直觀上，如果存在一種演算法可以驗證多項式時間的正確答案，則屬於NP問題。
 
P問題很容易解決。NP問題，我們尚不知道，但至少它們很容易驗證，這是關鍵的。
請注意，P問題也是NP。
現在，P與NP問題正式是這樣的：

NP中是否存在P中沒有的問題？
P vs NP基本上是在問：是否存在天生難於解決的問題，而與我們未來的聰明程度無關。
正確的答案是什麼？我們仍然不知道，但是大多數電腦科學家認為P不等於NP。
原因主要是哲學上的，但也有證據表明，如果P等於NP，則會發生很多奇怪的事情。
 
這個問題是電腦科學的核心，因為它討論了計算的本質及其固有的侷限性，無論技術如何改進。






 

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