PID原理及調參經驗

什麼是PID以及為什麼要用PID
PID是一種控制演算法，舉個比較簡單的例子，給你一個任務，讓一個漏水的水缸保持一半的水，在沒有學習任何演算法情況下，我們一般會一直去觀察水位是高於還是低於中間水位，低於中間水位時你就會開水龍頭，高於中間水位時你就會關水龍頭，這樣就可以讓水位一直保持在中間水位附近。這也是一種控制。從上面的例子以及結合下圖我們引入幾個重要的概念。

在上面的例子中我們用眼睛去觀察水位到了哪個位置，其實眼睛就是個測量元件，是用來觀察的，輸入就是中間水位，我們用眼睛去比較實際的水位是不是高於或者低於中間水位，在我們的大腦裡面運算調節，通過執行機構也就是我們的手，來調節水龍頭的閥門也就是輸出，從而使水位一直在中間水位附近，當然，肯定有人會問，為什麼會漏水呢？因為在實際工程中都會有一些損耗,比如電機摩擦的阻力，電磁損耗等。
u(k)=Kp * e( k )+ Ki * e( r ) + Kd * [e(k)-e(k-1]
PID的離散公式如上，Kp為比例係數，ki為積分系數，Kd為微分系數，e(k)為本次偏差，e(k-1)為上次偏差，e( r )為系統開始執行到結束所累加的誤差，u(k)為輸出，具體的數學推導請讀者自行百度。
既然是要學習，那麼現在我們我們用PID演算法來對水位進行具體的控制。我們規定中間水位為5m，將水龍頭和水缸分離，以水缸的水位作為單位，水缸的刻度精度為0.01m,水缸每秒的漏水量為0.1m水位，每次加水的時間為1s。現在，我們先只使用比例控制，也就是，u(k)=Kpe(k),我們每次的加水量u(k)等於比例係數Kp當前的水位與設定水位的偏差e(k),我們讓kp=0.4。假設現在水缸裡沒有水，根據上面的公式，我們第一次觀察到的偏差為5-0=5m，所以我們第一次加水量為，5x0.4=2.0m,現在第一次加水完畢之後，減去漏水量0.1m，所以現在水缸裡實際水量為2.0-0.1=1.9m,依次類推，我們得到下表，用MATLAB直接做圖，如下圖


通過觀察表格我們發現，從第14次加水之後，也就是當水缸裡的水位達到4.75m的時候，水缸的水位不再變化，為什麼水位不再上升呢？我們來算一下，中間水位為5m，我們在第13次加水之後觀察到的偏差為5-4.75=0.25，在乘以Kp，也就等於0.1m，到了這時候，我們加入的水剛好等於漏掉的水，水位不再上升。這裡我們引入一個新的概念，穩態誤差。簡單理解就是當我們只採用了比例調節，我們的輸出剛好等於損耗時，系統達到平衡，但是我們的輸入和輸出之間仍然有偏差的，我們就稱之為穩態誤差。
但是需要加13次水才可以到達平衡，響應速度慢，而且還存在穩態誤差，那我們可不可以通過放大比例係數Kp來快速到達設定水位且消除穩態誤差呢？這裡我們讓Kp=1.8,看看會發生什麼

結果顯示，系統響應明顯加快，穩態誤差從0.25m減少到了5-4.93=0.07m,所以增大比例係數Kp可以減小穩態誤差，但是不能消除，而且Kp過大輸出會在設定值也就是我們的中間水位之間震盪，這樣的結果顯然不是我們想要的。
因為從公式中我們可以看出比例調節是一種有差調節，也就是隻有當e(k)不等於零的時候，才會有輸出值，當e(k)=0時，實際水位等於中間水位，系統輸出為零，但是實際水位會一直中間水位嗎？不會，因為會漏水。所以無論我們選取的Kp值有多大，穩態誤差都會存在。那麼我們應該在系統不震盪的情況下，儘量增大Kp的值，讓系統的響應變快，減少穩態誤差。最終選定了Kp=1.0,結果如下，穩態誤差為0.11m,且只需加兩次水就可以達到平衡。

所以我們對比三次實驗可以得出結論：Kp越大，系統的響應越快，但是系統容易震盪，穩定性變差；Kp越小，響應時間越慢，調節時間變長，所以Kp的選取應該在系統不震盪，超調量不大的情況下往大調。
那麼問題來了，穩態誤差存在，水位還是沒達到設定水位，怎麼樣才能正確地消除穩態誤差呢？上面公式中的積分項e( r )為系統開始執行到結束所累加的誤差，但是誤差不能毫無限度的累加，需要對其限幅，我們需要根據系統的實際情況選擇合適的限幅值，這裡我們令e( r )=[-2,2],現在我們嘗試看看加入積分項能不能消除穩態誤差。我們將Kp=1.0,ki=0.1。如上例進行計算，我們得到表格。



通過觀察表格我們發現，最終實際水位最終會基本達到中間水位，在比例控制的基礎上加入積分控制就可以消除穩態誤差。但是加了37次水才可以讓實際水位等於設定水位，而且會引起超調。我們試著把Ki增大，令Kp=1.0,ki=0.3,結果如下


結果我們發現，增大Ki之後，只需要加16次水就可以設定水位，但是超調量變大了。在將Ki增大，令Kp=1.0,Ki=0.5，結果如下


結果我們發現，繼續增大Ki之後，只需要加11次水就可以設定水位，但是超調量變得更大了。我們對比三次實驗可以得出結論，增大Ki會引起超調，Ki越大，超調量越大，但是回覆更快，減小Ki超調量減小，但是回覆變慢，所以Ki引數的選取應該根據系統的實際情況。
但是有沒有辦法能夠讓超調量減少呢？當然有，那就是微分項，微分的公式為Kd*[e(k)-e(k-1]，e(k)為本次偏差，e(k-1)為上次偏差，從公式上理解為，當本次偏差大於上次偏差時，微分項就會輸出來抑制這種偏差偏大的趨勢，起到一種預判的作用，既然是這樣，上例中積分超調變化算是一種誤差變大的趨勢，為了能夠更好地讓讀者理解微分項的作用，我們直接對比沒有微分項Kp=0.6,ki=0.5,Kd=0與有微分項時Kp=0.6,ki=0.5,Kd=0.1的資料與波形對比
無微分項的表格

無微分項的波形

有微分項的表格

有微分項的波形
通過對比我們發現，加入微分項之後，超調量比之前小了，說明微分確實能夠減少超調量，但是通過觀察資料你會發現，沒有微分項的時候，水位一直在平衡位置有小幅度的震盪，但是在加入微分項之後就消失了。這是因為加入微分項可以改善系統的動態效能，也就是當已經到達平衡之後又出現偏差時，當前偏差減去上次偏差不為零，微分項有輸出，會去抑制這種變化，讓系統保持平衡。
到這裡，總結一下，在整定比例係數Kp時，Kp越大，系統的響應越快，但是系統容易震盪，穩定性變差；Kp越小，響應時間越慢，調節時間變長，所以Kp的選取應該在系統不震盪，超調量不大的情況下往大調；在整定積分系數Ki時，增大Ki會引起超調，Ki越大，超調量越大，但是回覆更快，減小Ki超調量減小，但是回覆變慢，所以Ki引數的選取應該根據系統的實際情況；增加微分項可以減少超調量，而且可以改善系統的動態效能。但在實際工程應用中，可以根據實際情況使用PI調節或者PID調節。