邊界都是1的最大正方形大小

邊界都是1的最大正方形大小

題目描述

給定一個$N\times N$的矩陣matrix，在這個矩陣中，只有0和1兩種值，返回邊框全是1的最大正方形的邊長長度、

例如

0 1 1 1 1

0 1 0 0 1

0 1 0 0 1

0 1 1 1 1

0 1 0 1 1

其中，邊框全是1的最大正方形的大小為$4\times 4$，所以返回4

[要求]

時間複雜度為$O(n^3)$，空間複雜度為$O(n^2)$

輸入描述：

第一行一個整數N。表示矩陣的長寬。
接下來N行，每行N個整數表示矩陣內的元素

輸出描述：

輸出一個整數表示答案

示例1

輸入

5
0 1 1 1 1
0 1 0 0 1
0 1 0 0 1
0 1 1 1 1
0 1 0 1 1

輸出

4

備註：

$1⩽N⩽200$
$matri{x}_{i,j}=0/1$

---

題解：

常規解法：列舉長度，分別列舉位置，然後判斷邊界是否滿足，時間複雜度：$O(n^4)$，那麼如何優化呢？

仔細思考，列舉長度和列舉位置是省不掉的，我們可以優化判斷邊界是否滿足，不用做四次迴圈挨個判斷。

具體有兩種優化方法，都是用到字首和思想：

優化一（一個額外陣列）：

使用二維陣列儲存字首和。核心思想：假設從左往右列舉，當前長度為 k ，位置為 (i, j) ，那麼求邊界上的 1 的數量變成：sum1 - sum2 ，其中 sum1 是從 (i, j) 開始，長度為 k 的子陣列和，sum2 是比 sum1 小一層的子陣列和，即從 (i+1, j+1) 開始，長度為 k-2 的子陣列和，若 sum1 - sum2 == 4*k - 4，則是一個邊界為 1 的子陣列，在所有合法的情況中找最大值即可。

優化一程式碼：

#include <cstdio>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 201;

int a[N][N];
int n;

int main(void) {
    scanf("%d", &n);
    int ret = 0;
    for ( int i = 1; i <= n; ++i ) {
        for ( int j = 1; j <= n; ++j ) {
            scanf("%d", &a[i][j]);
            if ( a[i][j] && !ret ) ret = 1;
            a[i][j] += a[i - 1][j] + a[i][j - 1] - a[i - 1][j - 1];
        }
    }
    int x, y;
    for ( int k = 2; k <= n; ++k ) {
        for ( int i = 1; i + k - 1 <= n; ++i ) {
            for ( int j = 1; j + k - 1 <= n; ++j ) {
                x = i + k - 1;
                y = j + k - 1;
                int sum1 = a[x][y] + a[i - 1][j - 1];
                sum1 -= (a[x][j - 1] + a[i - 1][y]);
                if ( k == 2 && sum1 == 4 ) {
                    ret = max( ret, 2 );
                    continue;
                }
                if ( k > 2 ) {
                    int sum2 = a[x - 1][y - 1] + a[i][j];
                    sum2 -= ( a[x - 1][j] + a[i][y - 1] );
                    if ( sum1 - sum2 == 4 * k - 4 ) ret = max( ret, k );
                }
            }
        }
    }
    return 0 * printf("%d\n", ret);
}

優化二（兩個額外陣列）：

使用兩個額外陣列，記錄每個位置往上最長多少個連續的1，往左最長多少個連續的1。在判斷邊界是否滿足條件時，直接通過預處理陣列判斷即可。

優化二程式碼：

#include <cstdio>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 200;

int n, val;
int r[N][N];
int c[N][N];

int main(void) {
    scanf("%d", &n);
    for ( int i = 0; i < n; ++i ) {
        for ( int j = 0; j < n; ++ j) {
            scanf("%d", &val);
            if ( !val ) continue;
            r[i][j] = !j ? 1 : r[i][j - 1] + 1;
            c[i][j] = !i ? 1 : c[i - 1][j] + 1; 
        }
    }
    int tmp, ret = 0;
    for ( int i = n - 1; i >= 0; --i ) {
        for ( int j = n - 1; j >= 0; --j ) {
            tmp = min( r[i][j], c[i][j] );
            while ( tmp > ret ) {
                if ( r[i - tmp + 1][j] >= tmp && c[i][j - tmp + 1] >= tmp ) {
                    ret = tmp;
                    break;
                }
                --tmp;
            }
        }
    }
    return 0 * printf("%d\n", ret);
}

法一空間小點，法二時間小點，自己選吧2333。。。