這篇文章參考了神仙$duyi$的題解。個人認為他的那篇文章寫得比這篇還要好，可以去看看他的這篇題解；如果看不懂的話 ，就來看看我的。

sto duyi orz!!!
duyi ddjxd!

Description

求一個序列的所有連續區間的$mex$的$mex$。

Solution

Part 1: 轉化

首先，看到本題，我們不難想到三個思考方式:

①直接從$mex$的$mex$入手，挖性質；
②從$mex$入手，擴充套件到$mex$的$mex$；
③拆分這兩個$mex$。

從①入手，似乎並沒有什麼用。
從②入手呢？很顯然，$mex$就是一個區間中最小的，沒有出現的數。
從③入手呢？結合②，我們似乎完成了一個轉化:

$\lfloor$ 對於每一個值$x$，我們要判斷是否存在一個區間的$mex$等於$x$。 $\rceil$

我們從$1$到$n+1$列舉每一個$x$，如果不存在這樣的區間使得它的$mex$等於$x$，那麼就直接輸出$x$並結束即可。

現在的難點，在於如何判斷是否存在一個區間的$mex$等於$x$。

Part 2: 決策包容性(貪心)

再重複一遍$mex$的定義: $mex$就是一個序列中最小的未出現的數。

即，一個區間的$mex$如果要等於$x$，需要滿足兩個要求：
①這段區間沒有$x$；
②這段區間有$1,2,3\dots \dots ,(x-1)$。

我們需要以①，②中的一個為條件，另一個為要求去尋找這樣的區間。

我們考慮以更加簡單達到的①為條件。我們找出所有$x$(可以預處理)，可以發現任意兩個$x$均不能出現在同一個區間中。

為了滿足②，可以發現一個“單調性”：如果一個區間有$1$到$x-1$這些數，那麼它的子區間不一定有；如果它的子區間有，那麼它一定有。

所以，我們對於劃分出來的這些區間，分別求一下$mex$即可。如果這些$mex$都不等於$x$，那麼這些大區間的子區間顯然都無法滿足要求。

可以發現，對於不同的$x$，劃分出來的區間的數量的級別只有$n$。於是，我們只需要完成下面這種操作: $\lfloor$ $n$次查詢一段區間的$mex$ $\rceil$。

Part 3: 離線，莫隊套權值線段樹上二分

對於這種查詢一段區間的$mex$的題目，我們有一個套路: 莫隊。

然後，每次我們單點修改(add/delete)，區間查詢$mex$的時候直接線段樹上二分即可。

修改的時間複雜度是$O(n\sqrt{n}\log n)$，查詢的時間複雜度為$O(n\log n)$，總時間複雜度為$O(n\sqrt{n}\log n)$。由於資料範圍是$n\le 10^5$，無法通過。

Part 4: 離線，莫隊套分塊，“根號平衡”

可以發現，修改操作足足有$n\sqrt{n}$個，而查詢操作只有$O(n)$個。但是，用線段樹做修改與查詢操作都是單次$\log$級別的，那我們能不能“犧牲查詢的複雜度，來優化修改操作的複雜度”呢？

答案是可以的，分塊可以搞定。對於每次修改，由於是單點的，我們直接$O(1)$打上標記即可；對於一次查詢，我們掃一遍所有的塊，如果這一塊沒有被填滿，顯然$mex$的值在這一塊內；然後我們暴力掃描一下這一塊即可。

單次修改的複雜度為$O(1)$，單次查詢的複雜度為$O(\sqrt{n})$。

總時間複雜度$O(n\sqrt{n})$，本題被完美解決。

Summary

毫無疑問，這是一道絕世好題。而$duyi$巨佬能切掉這題，足見他之神仙；而我卻冥思苦想$1h$，只想到了第一個$Part$中的東西，足見我有多菜。

我們從$mex$的定義本身，考慮轉化為“查詢是否存在一個區間的$mex$等於$x$”，又通過貪心的決策包容性，轉化為了“查詢一段區間的$mex$”，緊接著使用經典的莫隊套權值線段樹上二分來得到了本題的“正解”，可惜時間複雜度多了一個$\log$。最後，根據一個套路，我們考慮到了“根號平衡”，即對於“修改與查詢不平均”的問題都可以考慮下分塊是否可以優化。

dylstxdy!

Code

咕咕咕