20201023 更新：
之前發新的部落格把原來的覆蓋掉了，重新發一遍，把連結部分補上去了。

字串匹配

text：需要檢索子串的長字串

pattern：作為被檢索物件的短字串

應用情景：

• 檢索操作：特別是text很長，pattern很短的情況。

• 網際網路上的資訊監視

• 爬蟲時的資訊檢索

0 Brute-force substring search (naïve)

讓pattern和text的每個位置進行比對，直到某一次比對完全對應。可以用一個二重迴圈完成。或者讓i直接減j（i在這裡是回溯的，但在KSP當中不是），然後j清零即可，避免了二重迴圈。

時間複雜度：$O(mn)$。最壞情況例如：aaaaaab和aab。

問題：

• linear-time algorithm？
• avoid backup（本地的備份）？

1 KMP演算法

DFA版本

如果當前的匹配失敗了，並且pattern已經匹配上$n+1$個字元，我們考慮藉助pattern的特徵，減少匹配的次數。

對於KMP演算法，我們考慮其DFA，其中state的編號是當前匹配的pattern的長度。我們可以用DFA的矩陣來描述這個pattern，通過一定的程式求解，用求得的DFA來檢查text即可。

求解DFA的過程：

• 如果在state[j]（前面有j個字元匹配），並且當前字元恰好為p[j]，我們前往state[j+1]
• 否則，我們給已經求解的DFA輸入$p_1\cdots p_j$，少輸入一個開頭的$p_0$。這個序列最多跳轉到當前節點的前一個，正好可以放入我們已經求好的DFA，就可以遞迴地求出在state[j]根據$p_j$跳轉的方式。

虛擬碼：

string pat;
int M = pat.length();
int dfa[R][M];  // pattern長度為M，字符集大小為R
dfa[0][0] = 1;
for (int X = 0, j = 1; j < M; j++) {  // X表示輸入p1...pX到當前DFA
    for (int c = 0; c < R; c++)
        dfa[c][j] = dfa[c][X];  // 所有不匹配的情況都可以複製
    dfa[pat[j]][j] = j + 1;  // 匹配的情況轉移到下一個結點
    X = dfa[pat[j]][X];  // 根據當前DFA更新X
} // 雖然內部有個迴圈，但R是給定常數！

預處理時間和空間複雜度：$O(RM)$

用DFA處理，如果R很大，比如Unicode，其實也不合適。不過在檢索過程中複雜度是線性的，就還行。

特徵向量版本

改進版本是用一維陣列處理，就是課上講的。

如果有n位匹配，而第n+1位不匹配，我們有：$s_m\cdots s_{m+n}=p_0\cdots p_{n-1}$。這時候我們考慮最小的$j$，使得$p_0\cdots p_{n-1-j}=p_j\cdots p_{n-1}$，也就是找到$p_0\cdots p_{n-1}$的一個最長的相同prefix和suffix。為什麼呢？我考慮左手和右手都拿著一個pattern字串，它倆一開始是上下對齊的，這時候我左手不動，右手往右移動，此時兩個字串重合的地方就是相同長度的prefix和suffix。直到重合的部分相等，這時候我就停下來。在停下來之前，重合的部分都不相等，也就是說，當前這段prefix和$s_m\cdots s_{m+n}$的等長suffix是不相等的，我沒有必要做這個檢驗！我只需要等到停下來之後，prefix和suffix相等了，這時候我再開始做檢驗。這樣，i根本不會回退，雖然j有時回退，但是j和i總是同時++，因此檢驗的時間只取決於text的長度，是線性的。

注意，最長相等字首字尾必須是真子串！否則會原地不動。

全體j = N[n]構成了pattern字串的特徵向量N。特別地，令N[0]=-1，它的優點會在程式碼中看到。

整理成程式碼長這樣：

int KMPStringMatching(string text, string pattern)
    int n = text.length();
    int m = pattern.length();
    int next[m];  // pattern的特徵向量，假設已知
    int i = 0, j = 0;  // 兩個“指標”
    while (i < n && j < m) {
        if (j == -1 || text[i] == pattern[j]) {  // 匹配的情況，或者j=-1時跳過這個i
            i++;
            j++;
        }
        else {  // 失配的情況
            j = next[j];  // 讓pattern向右移動，表現為指標即這種跳轉
        }
    }
    if (j == m)
        return i - j;  // 找到一開始的匹配位置
    else 
    	return -1;  // 失配
}

求特徵向量的思想是動態規劃：

• 對於一個匹配的最長字首字尾$p_0\cdots p_{k-1}$和$p_{j-k}\cdots p_{j-1}$，也就是next[j] == k，如果$p_k=p_j$，那麼next[j+1] = k+1。
• 否則，如果$p_k\ne p_j$，令k = next[j]，則$p_0\cdots p_{k-1}$和$p_{j-k}\cdots p_{j-1}$仍然相等，這時候繼續討論，直到最小的k都不行，那麼next[j] = 0，表示這樣的k不存在。

int* findNext(string P) {
    int j, k;
    int m = P.length();
    assert (m > 0);
    int *next = new int[m];
    assert (next != 0);
    next[0] = -1; // 注意賦初值！這個時候就是相容的了
    j = 0; k = -1;
    while (j < m - 1) {
        while (k >= 0 && P[k] != P[j])
            k = next[k];
        j++;
        k++;
        next[j] = k;  // next[j+1] = k+1
    }
    return next;
}

在KMP匹配過程中，i永遠不會回退，但是j會根據N[j]回退。

KMP演算法的效率分析：

預處理是$O(m)$的，匹配時間效率是$O(n)$的。

j = N[j]最多執行N次：j增加只有j++，而j = N[j]至少讓j減1。如果執行超過N次，那麼j會得到負數，這肯定不可能。同樣，求特徵向量同理。

特徵向量有兩種求法：一個是求N[j]時不包含p[j]，也就是上面的那種方法；一個是包含的。這個不多講了，比較繁瑣

KMP演算法優化

在原來的KMP演算法中，當$t_i\ne p_j$，我們就讓j = next[j]，使得pattern串向右移動。令k = next[j],那麼此時和$t_i$對應的是$p_k$。如果本來$p_j=p_k$，那麼$t_i=p_k$，這一步判斷是冗餘的。因此在求next的時候，我們加一行：

while (j < m - 1) {
    while (k >= 0 && P[k] != P[j])
        k = next[k];
    j++;
    k++;
    if (P[j] == P[k]) // 加入的行，也就壓榨了一點效能
        next[j] = next[k];
    else  // 無論條件是否成立，不影響下一步的k的值
    	next[j] = k;
}

事實上這就保證了優化之後對於任何j，都有p[j] != p[next[j]]。用歸納法就可以了。設優化之前，k = next[j] < j, l = next[k] < k,p[l] != p[k] == p[j]。如果k已經是0了，那next[j] = l = -1 ，上面那個表示式都會報錯……

靈活的字串運算

求最長重複字串的下標位置，暴力列舉是$O(n^4)$。KMP可以在這裡優化嗎？

遍歷所有的子串s[i]~s[n]，求每一個子串的特徵向量，然後最好的值是所有特徵向量在這一位的值的最大值。這個是$O(n^2)$

2 Boyer-Moore演算法

【參考博文】

http://www.ruanyifeng.com/blog/2013/05/boyer-moore_string_search_algorithm.html

https://blog.csdn.net/sealyao/article/details/4568167

與KMP演算法不同，BM演算法中j是反著走的。i不保證一直往右走，每次pattern右移後，必須從右向左檢查pattern和text的對齊情況。BM演算法不走回頭路是指：pattern始終在往右移動，而不是text的i始終往右移動。

壞字元規則：

對於失配的s[i]，我們稱其為壞字元。

• 如果該字元不存在於p，則pattern右移m位。
• 否則，s[i]與p中從後往前最近的一個s[i]對齊匹配（也就是s[i]在P中最後一次出現的座標；如果沒出現就是-1，也就是上面的情況）。

這個演算法效率的分析其實不太穩定，取決於pattern向右跳多少。最好的情況下，每次都跳pattern的長度，是$O(n/m)$的；最壞的情況下，每次跳一步，每跳一步都要遍歷整個pattern，是$O(mn)$的。

Skip的規則可以預處理，得到一個table。只需要遍歷一遍p即可，時間複雜度$O(m)$。

好字尾規則：

我們稱檢查過程中能夠與text匹配的pattern字尾為好字尾。好字尾的位置以最後一個為準。如果好字尾在pattern中只出現一次，那麼上一次出現的位置為-1

失配時，pattern後移至上一個好字尾在pattern中出現的位置。

• 如果最長的好字尾在pattern中存在，則將pattern向右移動到好字尾的位置。
• 否則，則從好字尾中找到pattern的最長相等字首字尾。（如果這樣的字首字尾存在，那麼直接將pattern右移m位是不安全的，可能漏解）

兩個規則放在一起，取最大的跳。

我們來簡單地分析一下這個演算法。當遇到壞字元的時候，我們根據壞字元規則右移到上一個壞字元與之匹配，因為僅憑一個字元我們就可以斷言：任何更短步長的位移都會失配。而這兩個字元匹配上之後，我們還是要從後往前重新檢查，因此BM演算法只是單純地減少了不必要的操作。當遇到好字尾的時候,如果上一個好字尾在pattern串內部是比較好討論的，和壞字元類似；如果不在，採用了移動最長相等字首字尾的情形，仍然是安全的。

補充: Sunday演算法

【參考部落格】

https://blog.csdn.net/q547550831/article/details/51860017

和BM演算法類似，Sunday演算法考慮text和pattern對齊之後，text參加匹配的最後一個字元的後面一個字元。把它作為壞字元進行移位。不同的地方在於，Sunday演算法從前往後遍歷pattern串。

求偏移表的方式和BM演算法一樣。

3 shift-or algorithm

【參考部落格】

https://blog.csdn.net/weixin_30443813/article/details/99766066

演算法的原理很簡單：維持這樣一個字串集合$S$，集合中的元素是text的字尾，又是pattern的字首。我們讓pattern不斷右移，更新$S$，直到pattern $\in S$。

集合可以通過bitset表示：

bitset D[m], D[j] = 1當且僅當$p_0\cdots p_j=t_{j-i}\cdots t_i$

初始條件：d[0] = (S[m-1] == T[0])

終止條件：d[m-1] == 1

更新操作：d[j] = 1，當且僅當d[j-1] == 1 && s[i]==p[j]

s[i]==p[j]可以提前求出來，因為它只依賴於pattern中的字元。對於pattern中每一個字元c，都對應一個特徵bitset B[m]，其中B[i] == (c == p[i])。因此，更新操作可以寫作D = (D << 1) | 1 & B，其中B是s[i]的特徵bitset。或一個1，保證最低位不恆為0。

上面這種寫法是shift-and，shift-or就是把所有的0和1互換，與和或互換。這樣更新操作不用或那個1，因為右移出來的總是0；但是，需要記得提前把D初始化為1。

4 Karp-Rabin演算法

【參考部落格】

https://blog.csdn.net/Shine__Wong/article/details/102095474

假如有很多模式，和一個需要匹配的串。用一個window來檢索需要匹配的串，對它做hash。因為hash是對輸入敏感的，如果window裡面的東西的hash值和某個pattern的hash值一樣，那我們就匹配上了。這個更方便。

計算hash：設字符集大小為R，那麼每個長度為m的字串都可以看做一個R進位制數（在判斷過程中不考慮終止字元），它有一個多項式表示。由於R是有限大小的，它有唯一確定的指紋fingerprint。

問題在於：

• 求指紋的時間是$O(m)$的
• R很大時不好表示

解決方案：

• 相鄰兩個字串的hash值是高度關聯的，體現在多項式表示中。因此，hash(i+1) = (hash(i) * m + p[i+1]，
• 對上述結果再mod M，其中M是個常數，它充分大使得發生衝突的概率很小，但又保證每個串的指紋是唯一的。解決了儲存空間的問題。

5 有窮自動機

它可以定義一套字串的pattern。

用矩陣表示，矩陣中每個元素表示：結點state遇到字元時轉移到哪個結點。用圖表示，是一個有窮個結點的單向圖，每個結點都有編號。從同一個節點出發的邊都有字元表中的字元作為編號，且字元相同時邊相同。

如果一個字串符合有窮自動機deterministic finite state automation (DFA)，那麼這個字串匹配當前模式。

在網課當中講到了用DFA定義的KMP演算法，可以參考普林斯頓的演算法網課。