python小白之路：第十九章 Boosting模型（二）

提升樹模型(Boosting Decision Tree,BDT)

以決策樹為基函式的提升方法。

對於分類問題的決策樹是二叉分類樹；對於迴歸問題是二叉迴歸樹。

一個根結點直接連兩個葉結點的簡單決策樹稱為決策樹樁。

1 演算法

前向分步演算法+加法模型

針對不同問題，損失函式有所不同

第m步模型：
$f_m(x)=f_{m-1}(x)+T(x_i;\Theta_m)$
引數 $\Theta_m$ :
$\hat\Theta_m =arg\min_{\Theta_m}\sum_{i=1}^NL(y_i,f_{m-1}(x_i)+T(x_i;\Theta_m))$

1.1 分類問題

對於二分類問題，只要使用二類分類樹作為基分類器就行。

損失函式是指數損失函式

1.2 迴歸問題

思路：學習迴歸樹擬合殘差

損失函式是平方誤差損失函式

在劃分時可以按照SSE最小

樹可表示為：

$J$ 是迴歸樹的複雜度即葉結點個數， $c_j$ 是各劃分的區域上的常數

$T(x;\Theta)=\sum_{j=1}^Jc_jI(x\in R_j)$

初始化：
$f_0(x)=0$
第m步的模型：
$f_m(x)=f_{m-1}(x)+T(x;\Theta_m), \quad \text m=1,2,...,M$
採用平方誤差損失函式：

$r=y-f_{m-1}(x)$ 是當前模型擬合資料的殘差(residual)

$L(y,f_{m-1}(x)+T(x_i;\Theta_m))=[y-f_{m-1}(x)-T(x_i;\Theta_m)]^2\\ =[r-T(x_i;\Theta_m)]^2$

1.3 梯度提升(Gradient Boosting)

大致和上面步驟一樣

對一般的損失函式，使用梯度提升演算法。利用損失函式的負梯度在當前模型的值作為殘差的近似值。

當損失函式是平方差損失函式時，殘差就是負梯度。但是，平方差損失函式對於異常值太敏感。

殘差近似值：
$-[\frac{\partial L(y,f(x_i))}{\partial f(x_i)}]_{f(x)=f_{m-1}(x)}$
第m步：

對 $i = 1, 2, . . ., N$ :
$r_{mi}=-[\frac{\partial L(y,f(x_i))}{\partial f(x_i)}]_{f(x)=f_{m-1}(x)}$
對 $r_{mi}$ 擬合一個迴歸樹，得到第m棵樹的葉結點區域 $R_{mj}$
對 $j = 1, 2, . . ., J$ :
$c_{mj}=arg\min_{c}\sum_{x_i\in R_{mj}}L(y_i,f_{m-1}(x_i)+c)$
更新:
$f_m{x}=f_{m-1}(x)+\sum^J_{j=1}c_{mj}I(x\in R_{mj})$

最終迴歸樹：
$\hat f(x)=f_M(x)=\sum^M_{m=1}\sum^J_{j=1}c_{mj}I(x\in R_{mj})$

2 程式碼

# 以李航老師的《統計學習方法》(第二版)的p168例子為例

import numpy as np

x = [1,2,3,4,5,6,7,8,9,10]
y = [5.56,5.70,5.91,6.40,6.80,7.05,8.90,8.70,9.00,9.05] 

def BDT(MS,x,y):
    ms_f = 1000     # 初始化提升樹擬合資料的平方損失誤差
    f = [0]*len(x)  # 初始化提升樹
    n = 1           # 記錄迭代次數
    r = y           # 第一次殘差為y
    while ms_f >= MS:   # 平方損失誤差要求
        ms_f = 0
        R1_best = []
        R2_best = []
        ms_min = 1000   # 初始化劃分的最小平方誤差
        s_best = 0      # 初始化最優劃分點
        c1_best = 0     # 初始化最優劃分時使葉結點內部平方損失誤差最小的引數
        c2_best = 0     # 初始化最優劃分時使葉結點內部平方損失誤差最小的引數
        # 根據最小化損失函式求最優的劃分點和對應的係數
        for s in np.linspace(1.5,9.5,9):
            ms = 0
            R1 = []
            R2 = []
            c1 = 0
            c2 = 0
            n1,n2,ms1,ms2 = 0,0,0,0
            for i in range(0,len(x)):
                if x[i] < s or x[i] == s:
                    R1.append(x[i])
                    c1 += r[i]
                    n1 += 1
                else:
                    R2.append(x[i])
                    c2 += r[i]
                    n2 += 1
            
            c1 = c1/n1 # 使R1平方誤差最小時的引數
            c2 = c2/n2 # 使R2平方誤差最小時的引數
            for i in R1:
                ms1 += (r[i-1] - c1)**2
            for i in R2:
                ms2 += (r[i-1] - c2)**2 

            ms = ms1 + ms2 # 損失函式
            if ms_min > ms:
                ms_min = ms 
                s_best = s
                c1_best = c1
                c2_best = c2
                R1_best = R1
                R2_best = R2
        
        # 迴歸樹  
        T = []
        for i in range(0,len(x)):
            if x[i] < s_best:
                T.append(c1_best)
            else:
                T.append(c2_best)
        
        # 提升樹
        for i in range(0,len(T)):
            f[i] += T[i]
        
        # 殘差及擬合殘差的平方損失誤差
        r = []
        for i in range(0,len(f)):
            r.append(y[i]-f[i])
            ms_f += r[i]**2
        
        # 記錄

        with open('record_BDT.txt','a+',encoding='utf-8') as fp:
            fp.write(
                f'第{n}次:當s={s_best}時，m(s)達到最小值{ms_min}，此時R1={R1_best}，R2={R2_best}，c1={c1_best}，c2={c2_best}，迴歸樹為{T}，提升樹為{f}，殘差為{r}，平方損失誤差為{ms_f}\n\n'
            )
            fp.close()
      
        n += 1

        
    return f

BDT(0.5,x,y)

# 結果
#[5.87,5.87,5.87,6.603333333333333,6.603333333333333,6.603333333333333,8.9125,8.9125,8.9125,8.9125]

第1次:

當s=6.5時，m(s)達到最小值1.9300083333333338，此時R1=[1, 2, 3, 4, 5, 6]，R2=[7, 8, 9, 10]，c1=6.236666666666667，c2=8.912500000000001，迴歸樹為[6.236666666666667, 6.236666666666667, 6.236666666666667, 6.236666666666667, 6.236666666666667, 6.236666666666667, 8.912500000000001, 8.912500000000001, 8.912500000000001, 8.912500000000001]，提升樹為[6.236666666666667, 6.236666666666667, 6.236666666666667, 6.236666666666667, 6.236666666666667, 6.236666666666667, 8.912500000000001, 8.912500000000001, 8.912500000000001, 8.912500000000001]，殘差為[-0.6766666666666676, -0.5366666666666671, -0.3266666666666671, 0.1633333333333331, 0.5633333333333326, 0.8133333333333326, -0.012500000000001066, -0.21250000000000213, 0.08749999999999858, 0.1374999999999993]，平方損失誤差為1.9300083333333338

第2次:

當s=3.5時，m(s)達到最小值0.8006750000000016，此時R1=[1, 2, 3]，R2=[4, 5, 6, 7, 8, 9, 10]，c1=-0.513333333333334，c2=0.219999999999999，迴歸樹為[-0.513333333333334, -0.513333333333334, -0.513333333333334, 0.219999999999999, 0.219999999999999, 0.219999999999999, 0.219999999999999, 0.219999999999999, 0.219999999999999, 0.219999999999999]，提升樹為[5.723333333333334, 5.723333333333334, 5.723333333333334, 6.456666666666666, 6.456666666666666, 6.456666666666666, 9.1325, 9.1325, 9.1325, 9.1325]，殘差為[-0.163333333333334, -0.023333333333333428, 0.18666666666666654, -0.056666666666665755, 0.3433333333333337, 0.5933333333333337, -0.23249999999999993, -0.432500000000001, -0.13250000000000028, -0.08249999999999957]，平方損失誤差為0.8006750000000015

第3次:

當s=6.5時，m(s)達到最小值0.47800833333333437，此時R1=[1, 2, 3, 4, 5, 6]，R2=[7, 8, 9, 10]，c1=0.1466666666666668，c2=-0.2200000000000002，迴歸樹為[0.1466666666666668, 0.1466666666666668, 0.1466666666666668, 0.1466666666666668, 0.1466666666666668, 0.1466666666666668, -0.2200000000000002, -0.2200000000000002, -0.2200000000000002, -0.2200000000000002]，提升樹為[5.87, 5.87, 5.87, 6.603333333333333, 6.603333333333333, 6.603333333333333, 8.9125, 8.9125, 8.9125, 8.9125]，殘差為[-0.3100000000000005, -0.16999999999999993, 0.040000000000000036, -0.20333333333333226, 0.1966666666666672, 0.4466666666666672, -0.01249999999999929, -0.21250000000000036, 0.08750000000000036, 0.13750000000000107]，平方損失誤差為0.47800833333333437

# sklearn的GBDT演算法api
from sklearn.ensemble import GradientBoostingClassifier
from sklearn.ensemble import GradientBoostingRegressor