字尾陣列（後續）

字尾陣列 Height

利用字尾陣列快速求出2個字尾的lcp長度
lcp:最長公共字首
lcp(suf(i),suf(j))
記Height[l] = 排名第(l-1)字尾和排名第l字尾的lcp長度
Height[l] = lcp(suf(SA[l-1]),suf(SA[l]))

l = 字尾suf(i)的排名
r = 字尾suf(j)的排名
結論：
lcp(suf(i),suf(j)) = min(Height[l+1]…Height[r] )
即兩個字尾的lcp = 它們排名區間中Height的最小值
維護rmq

求Height陣列

暴力求O(N²)

for i =1-N
 	l =rank[i]
	j = sa[l-i]
	k=0
	while(s[i+k]==s[j+k])k++;
	Height[l]=k;

suf(k)為s(k…n)構成的子串
SA[1]排序第1的字尾的開始位置
令l =rank[i],r = rank[i-1]
Height[l] = lcp(suf(SA[l-i],suf(i)))
Height[r] = lcp(suf(SA[r-1],suf(i-1)))
結論：
Height[l] >= Height[r]-1
Height[rank[i]] >= Height[rank[i-1]] - 1

利用Height[rank[i]] >= Height[rank[i-1]] - 1優化暴力
複雜度為O(N)

for i =1-N
	j = sa[l-i]
	k=max(0,Height[rank[i-1]-1])
	while(s[i+k]==s[j+k])k++;
	Height[l]=k;

之後再用st表來來維護Height的rmq資訊

總結：

倍增求長度為2^k子串的字典序
排序是二元組的基數排序
求SA O(NlogN)
求Height O(N)
求lcp
st表 預處理O(NogN)+單次詢問O(1)
P3809 【模板】字尾排序
P4051 【JSOI2007】字元加密

程式碼：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN =1000005;

char ch[MAXN], all[MAXN];
int sa[MAXN], rk[MAXN], height[MAXN], tax[MAXN], tp[MAXN], a[MAXN], n, m; 
char str[MAXN];
//rk[i] 第i個字尾的排名; sa[i] 排名為i的字尾位置; height[i] 排名為i的字尾與排名為(i-1)的字尾的LCP
//tax[i] 計數排序輔助陣列; tp[i] rk的輔助陣列(計數排序中的第二關鍵字),與sa意義一樣。
//a為原串
void RSort() {
    //rk第一關鍵字,tp第二關鍵字。
    for (int i = 0; i <= m; i ++) tax[i] = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i ++) tax[rk[tp[i]]] ++;
    for (int i = 1; i <= m; i ++) tax[i] += tax[i-1];
    for (int i = n; i >= 1; i --) sa[tax[rk[tp[i]]] --] = tp[i]; //確保滿足第一關鍵字的同時，再滿足第二關鍵字的要求
} //計數排序,把新的二元組排序。

int cmp(int *f, int x, int y, int w) { return f[x] == f[y] && f[x + w] == f[y + w]; } 
//通過二元組兩個下標的比較，確定兩個子串是否相同

void Suffix() {
    //sa
    for (int i = 1; i <= n; i ++) rk[i] = a[i], tp[i] = i;
    m = 127 ,RSort(); //一開始是以單個字元為單位，所以(m = 127)

    for (int w = 1, p = 1, i; p < n; w += w, m = p) { //把子串長度翻倍,更新rk

        //w 當前一個子串的長度; m 當前離散後的排名種類數
        //當前的tp(第二關鍵字)可直接由上一次的sa的得到
        for (p = 0, i = n - w + 1; i <= n; i ++) tp[++ p] = i; //長度越界,第二關鍵字為0
        for (i = 1; i <= n; i ++) if (sa[i] > w) tp[++ p] = sa[i] - w;

        //更新sa值,並用tp暫時存下上一輪的rk(用於cmp比較)
        RSort(), swap(rk, tp), rk[sa[1]] = p = 1;

        //用已經完成的sa來更新與它互逆的rk,並離散rk
        for (i = 2; i <= n; i ++) rk[sa[i]] = cmp(tp, sa[i], sa[i - 1], w) ? p : ++ p;
    }
    //離散：把相等的字串的rk設為相同。
    //LCP
    int j, k = 0;
    for(int i = 1; i <= n; height[rk[i ++]] = k) 
        for( k = k ? k - 1 : k, j = sa[rk[i] - 1]; a[i + k] == a[j + k]; ++ k);
    //這個知道原理後就比較好理解程式
}

void Init() {
    scanf("%s", str);
    n = strlen(str);
    for (int i = 0; i < n; i ++) a[i + 1] = str[i];
}

int main() {
    Init();
    Suffix();

    int ans = height[2];
    for (int i = 3; i <= n; i ++) ans += max(height[i] - height[i - 1], 0);
    for(int i=1;i<=n;i++)
   cout<<sa[i]<<" ";
   puts("");
//    printf("%d\n", ans);    
}