並查集(UnionFind)技巧總結
什麼是並查集
在電腦科學中,並查集是一種樹型的資料結構,用於處理一些不交集(Disjoint Sets)的合併及查詢問題。有一個聯合-查詢演算法(Union-find Algorithm)定義了兩個用於此資料結構的操作:
- Find:確定元素屬於哪一個子集。它可以被用來確定兩個元素是否屬於同一子集。
- Union:將兩個子集合併成同一個集合。
由於支援這兩種操作,一個不相交集也常被稱為聯合-查詢資料結構(Union-find Data Structure)或合併-查詢集合(Merge-find Set)。
並查集可以解決什麼問題
- 組團、配對
- 圖的連通性問題
- 集合的個數
- 集合中元素的個數
演算法模板
type UnionFind struct { count int parent []int } func ctor(n int) UnionFind { uf := UnionFind{ count: n, parent: make([]int, n), } for i := 0; i < n; i++ { uf.parent[i] = i } return uf } func (uf *UnionFind) find(p int) int { for p != uf.parent[p] { uf.parent[p] = uf.parent[uf.parent[p]] // 路徑壓縮 p = uf.parent[p] } return p } func (uf *UnionFind) union(p, q int) { rootP, rootQ := uf.find(p), uf.find(q) if rootP == rootQ { return } uf.parent[rootP] = rootQ uf.count-- }
例項
題目分析:
題目求的是有多少個朋友圈,也就是求有集合個數,可用並查集解決。
兩重遍歷所有學生,判斷倆倆是否為朋友,如為朋友將加入到集合中。這裡可以透過遍歷二維矩陣的右半邊即可,可降低遍歷數量,從而降低時間複雜度。
程式碼實現:
func findCircleNum(M [][]int) int { n := len(M) uf := ctor(n) // 遍歷學生 i, j ,if M[i][j]==1 加入集 for i := 0; i < n; i++ { for j := i + 1; j < n; j++ { if M[i][j] == 1 { uf.union(i, j) } } } // 再返回有多少個集合 return uf.count } type UnionFind struct { parents []int count int } func ctor(n int) UnionFind { uf := UnionFind{ parents: make([]int, n), count: n, } for i := 0; i < n; i++ { uf.parents[i] = i } return uf } func (uf *UnionFind) find(p int) int { for p != uf.parents[p] { uf.parents[p] = uf.parents[uf.parents[p]] p = uf.parents[p] } return p } func (uf *UnionFind) union(p, q int) bool { rootP, rootQ := uf.find(p), uf.find(q) if rootP == rootQ { return false } uf.parents[rootP] = rootQ uf.count-- return true }
複雜度分析:
- 時間複雜度:O(n2)O(n2)。兩重遍歷用時 O(n2)O(n2) ,
uf.union
和uf.find
的時間複雜度為 O(1)O(1) ,所以總的時間複雜度為 O(n2)O(n2)。 - 空間複雜度:O(n)O(n)。需要一個 O(n)O(n) 大小的空間。
題目分析:
題目求的是島嶼數量,即集合個數,可用並查集解決。
題目可抽象為遍歷所有網格
(i, j)
,如果是陸地(
(i, j) == '1'
),則把其右邊的陸地(
(i+1, j) == '1'
)和下邊的陸地(
(i, j+1) == '1'
)合併到一起;如是水(
(i, j) == '0'
),則把其合併到一個哨兵集合裡。最後返回
集合個數 - 1
。
注:這裡關鍵是對於水的處理,把其合併到一個哨兵集合裡,讓水不會單獨存在,從而干擾島嶼個數的判斷。
程式碼實現:
func numIslands(grid [][]byte) int { rows := len(grid) if rows == 0 { return 0 } cols := len(grid[0]) if cols == 0 { return 0 } uf := ctor(rows*cols + 1) guard := rows * cols // 哨兵:用於作為 '0' 的集合 directions := [][]int{[]int{0, 1}, []int{1, 0}} for i := 0; i < rows; i++ { for j := 0; j < cols; j++ { index := i*cols + j if grid[i][j] == '1' { for _, direction := range directions { newI, newJ := i+direction[0], j+direction[1] if newI < rows && newJ < cols && grid[newI][newJ] == '1' { newIndex := newI*cols + newJ uf.union(index, newIndex) } } } else { uf.union(guard, index) } } } return uf.count - 1 } type UnionFind struct { parents []int count int } func ctor(n int) UnionFind { uf := UnionFind{parents: make([]int, n), count: n} for i := 0; i < n; i++ { uf.parents[i] = i } return uf } func (uf *UnionFind) find(p int) int { for p != uf.parents[p] { uf.parents[p] = uf.parents[uf.parents[p]] p = uf.parents[p] } return p } func (uf *UnionFind) union(p, q int) bool { rootP, rootQ := uf.find(p), uf.find(q) if rootP == rootQ { return false } uf.parents[rootP] = rootQ uf.count-- return true }
複雜度分析:
- 時間複雜度:O(n∗m)O(n∗m),其中
n
和m
分別表示二維陣列的行數和列數。 - 空間複雜度:O(n∗m)O(n∗m)。並查集需要
n * m
大小的陣列空間。
題目分析:
題目可理解為把邊界上的
'O'
保留,其他都填充為
'X'
,可以把邊界上的
'O'
作為一個集合,不是這個集合的填充為
'X'
,因此可使用並查集解決。- 遍歷邊界上的點,把
'O'
合併到一個哨兵集合裡。 - 遍歷二維矩陣裡的點,把
'O'
的右和下合併到一起。 - 遍歷二維矩陣,把不在哨兵集合裡的全部填充為
'X'
程式碼實現:
func solve(board [][]byte) { n := len(board) if n == 0 { return } m := len(board[0]) if m == 0 { return } uf := ctor(n*m + 1) guard := n * m directions := [][]int{[]int{0, 1}, []int{1, 0}} getIndex := func(i, j int) int { return i*m + j } // 1. 遍歷邊界上的點,把 'O' 合併到一個哨兵集合裡。 for j := 0; j < m; j++ { if board[0][j] == 'O' { uf.union(getIndex(0, j), guard) } if board[n-1][j] == 'O' { uf.union(getIndex(n-1, j), guard) } } for i := 0; i < n; i++ { if board[i][0] == 'O' { uf.union(getIndex(i, 0), guard) } if board[i][m-1] == 'O' { uf.union(getIndex(i, m-1), guard) } } // 2. 遍歷二維矩陣裡的點,把 ```'O'``` 的右和下合併到一起。 for i := 0; i < n; i++ { for j := 0; j < m; j++ { if board[i][j] == 'O' { for _, direction := range directions { newI, newJ := i+direction[0], j+direction[1] if newI < n && newJ < m && board[newI][newJ] == 'O' { uf.union(getIndex(newI, newJ), getIndex(i, j)) } } } } } // 3. 遍歷二維矩陣,把不在哨兵集合裡的全部填充為 'X' for i := 0; i < n; i++ { for j := 0; j < m; j++ { if !uf.isConnect(getIndex(i, j), guard) { board[i][j] = 'X' } } } } type UnionFind struct { parents []int count int } func ctor(n int) UnionFind { uf := UnionFind{ parents: make([]int, n), count: n, } for i := 0; i < n; i++ { uf.parents[i] = i } return uf } func (uf *UnionFind) find(p int) int { for p != uf.parents[p] { uf.parents[p] = uf.parents[uf.parents[p]] p = uf.parents[p] } return p } func (uf *UnionFind) union(p, q int) bool { rootP, rootQ := uf.find(p), uf.find(q) if rootP == rootQ { return false } uf.parents[rootP] = rootQ uf.count-- return true } func (uf *UnionFind) isConnect(p, q int) bool { return uf.find(p) == uf.find(q) }
複雜度分析:
- 時間複雜度:O(n2)O(n2),其中
n
和m
分別表示二維陣列的行數和列數。 - 空間複雜度:O(n2)O(n2)。並查集需要
n * m
大小的陣列空間。
總結
- 要熟練掌握並查集的模板,要能夠快速寫出來。
- 要掌握並查集的應用場景。例如組團、配對、圖的連通性問題、集合個數、集合中元素的個數等。
- 對於二維的問題轉一維解決,例如
200. 島嶼數量
和130. 被圍繞的區域
。 - 找出元素間的“配對”關係是解決問題的關鍵。例如二維陣列,找當前位置與其右和其下配對。例如
200. 島嶼數量
和130. 被圍繞的區域
。
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