優雅的資料結構–並查集

objc94發表於2019-05-12

概念介紹

先來想想「親戚」這個詞的定義：「指和自己有血親和姻親的人」。你和你女友家屬本身並非是親戚關係，一旦結婚後，兩家人便成為了一家人，你的家人包括你在內和你女友及其家人自動成為了親戚，這就是一個典型的並查集應用。並查集是一種樹形的資料結構，用於處理一些不相交集合的合併及查詢，上面例子中「結婚」其實就是並查集的合併操作

下面我們來演示下並查集的常規操作，我們預設建立6個元素，這6個元素我們可以看成是互不相交的6個集合

進行幾次簡單合併操作，我們把元素0,2,4合併為集合set0，1,3合併為set1，5單獨看成一個set2

查詢操作

實現方法

初始化（make_set）

我們可以把並查集看成是由很多顆樹組成的森林，每棵樹中相連的結點都代表屬於同一集合，樹中parent指向自己的根結點被視為該集合的代表。初始的時候，我們用一個parent陣列儲存所有結點的父結點下標，由於預設情況下每個集合互不相交，所以我們令每個結點的parent都指向自己，這樣就生成了N棵以自己為根的樹組成的森林。

parent陣列的初始化結構如下圖所示：

初始化並查集的程式碼：

void make_set (){
    for (int i=0;i<N;i++){
        parent[i] = i;// 如上圖i的parent指向自己
    }
}
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合併（Union）

Union(a,b)會將a所在的集合與b所在的集合相結合。在資料結構的實現上，只需要將b的根結點指向a的根結點，或a的根結點指向b的根結點即可，本文中預設使用前者。假設我們現在要將0,2,4合併為一個集合，1,3 合併為一個集合，5單獨視為一個集合，那麼運算的過程的可能如下：

接著，如果想要繼續Union(5,3)，我們可以先獲得結點3所處樹的根結點1，讓1指向5即可。但是這樣樹的高度要比5指向1的樹要高，隨著並查集規模的增大，樹會多出很多不必要的高度，這將導致並查集的查詢更耗時。

為了讓合併後樹的整體高度相對更矮，在每次合併時，我們讓高度較矮的樹併入高度較高的樹，這種優化會在之後的程式碼中體現出來。

最後，如果我們想要Union(2,3),由於2,3各自所處的樹高度相同，所以按預設方式將「3」的根結點「1」指向「2」的根結點「0」即可。

在實現Union函式之前，我們先增加一個rank[N]陣列記錄高度，預設的時候rank陣列全部設定為0，rank中數值隨著並查集的合併而改變。下面給出Union的程式碼：

void union_set(int a,int b) {
    if (a==b) return; // 相同
    int root_a = find_root(a);//找到a的根結點
    int root_b = find_root(b);//找到b的根結點
    if (root_a == root_b)  return; //根結點相同
    int higher_root = rank[root_a]>rank[root_b] ?root_a:root_b;// 選出較高的樹
    int lower_root = rank[root_a]<rank[root_b]?root_a:root_b;// 選出較低的樹
    if( higher_root == lower_root ) {
        // 兩顆樹高度相等的情況
        parent[root_b] = root_a; //root_b.parent 指向 root_a (預設操作)
        ++rank[root_a];// 高度+1
    }else {
        parent[lower_root] = higher_root; // 較矮的樹指向較高的樹，不會改變整體高度
    }
}
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查詢（Find）

查詢某個元素所在的集合非常簡單，由於parent陣列記錄了每一個元素的父結點，我們只需要遞迴回溯即可。

執行find_root(5)後沿著紅線向上回溯找到0，執行find_root(2)後沿著紅線向上回溯也找到了0，說明5和2同屬一個集合，而執行find_root(7)後沿著紅線回溯找到了6，故7和元素5,2不屬於同一個集合。下面給出實現程式碼：

int find_root(int node) {
    if (parent[node] == node) return node;
    return find_root(parent[node]);
}
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路徑壓縮（Path Compression）

在查詢某個元素的所在集合的時候，上面的find_root(int node)函式會返回元素所在的樹的根結點------這個集合的代表，在這個過程中，我們可以將當前待查詢的元素直接指向這個根結點，降低樹的高度，從而使得查詢速度得到提升。以上圖為例子，執行find_root(3),find_root(5)後樹形結構會變成如下結構：

程式碼實現上的改動非常小：

int find_root(int node) {
    if (parent[node] == node) return node;
    parent[node] = find_root(parent[node]); // 指向根結點
    return parent[node];
}
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完整的程式碼+前面的例子

並查集的程式碼和邏輯都非常精簡，在我看來是非常優雅的資料結構。

#include<iostream>
#include <stdio.h>
#define N 10000+10

int parent[N];
int rank[N];
void make_set (){
    for (int i=0;i<N;i++){
        parent[i] = i;
        rank[i] = 0;
    }
}
int find_root(int node) {
    if (parent[node] == node) return node;
    parent[node] = find_root(parent[node]);
    return parent[node];
}
void union_set(int a,int b) {
    if (a==b) return; // 相同
    int root_a = find_root(a);//找到a的根結點
    int root_b = find_root(b);//找到b的根結點
    if (root_a == root_b)  return; //根結點相同
    int higher_root = rank[root_a]>rank[root_b] ?root_a:root_b;// 選出較高的樹
    int lower_root = rank[root_a]<rank[root_b]?root_a:root_b;// 選出較低的樹
    if( higher_root == lower_root ) {
        // 兩顆樹高度相等的情況
        parent[root_b] = root_a; //root_b.parent 指向 root_a (預設操作)
        ++rank[root_a];// 高度+1
    }else {
        parent[lower_root] = higher_root; // 較矮的樹指向較高的樹，不會改變整體高度
    }
}
int main(){
    make_set();
    union_set(0, 2);
    union_set(2, 4);
    union_set(1, 3);
    union_set(5, 3);
    union_set(2, 3);
    find_root(3);
    find_root(5);
    for(int i=0;i<6;i++) {
        printf("%d ",parent[i]);// 輸出所有指向
    }
}
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參考文章

Union-Find Algorithms
維基百科