並查集是一種怎樣的資料結構?

bigsai 發表於 2021-06-22
資料結構

什麼是並查集

並查集這種資料結構,可能出現的頻率不是那麼高,但是還會經常性的見到,其理解學習起來非常容易,通過本文,一定能夠輕輕鬆鬆搞定並查集!

對於一種資料結構,肯定是有自己的應用場景和特性,那麼並查集是處理什麼問題的呢?

並查集是一種樹型的資料結構,用於處理一些不相交集合(disjoint sets)的合併及查詢問題,常常在使用中以森林來表示。在一些有N個元素的集合應用問題中,我們通常是在開始時讓每個元素構成一個單元素的集合,然後按一定順序將屬於同一組的元素所在的集合合併,其間要反覆查詢一個元素在哪個集合中。其特點是看似並不複雜,但資料量極大,若用正常的資料結構來描述的話,往往在空間上過大,計算機無法承受;即使在空間上勉強通過,執行的時間複雜度也極高,根本就不可能在比賽規定的執行時間(1~3秒)內計算出試題需要的結果,只能用並查集來描述。

你可能還有點迷糊並查集能怎麼玩,看完這篇然後回頭看這兩個問題(分別杭電1232和杭電1272)。

問題1:

某省調查城鎮交通狀況,得到現有城鎮道路統計表,表中列出了每條道路直接連通的城鎮。省政府“暢通工程”的目標是使全省任何兩個城鎮間都可以實現交通(但不一定有直接的道路相連,只要互相間接通過道路可達即可)。問最少還需要建設多少條道路?

這個問題很容易,給定的關係看看需要合併多少次就知道最少的建設道路數量。

問題二:

小希希望任意兩個房間有且僅有一條路徑可以相通(除非走了回頭路)。小希現在把她的設計圖給你,讓你幫忙判斷她的設計圖是否符合她的設計思路。比如下面的例子,前兩個是符合條件的,但是最後一個卻有兩種方法從5到達8。

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這個問題也很容易了,根據關係集合進行合如果兩個元素已經屬於一個集合,那就說明不滿足要求啦。

並查集解析

通過上面介紹,相信你已經清楚並查集就是解決集合中一些元素的合併和查詢問題,現在就帶你解析這個演算法。

初始化

開始時候森林中每個元素沒有任何操作,它們之間是相互獨立的。我們通常會使用陣列來表示這個森林(陣列下標對應第幾個元素),在初始化的時候陣列中的各個值為-1,表示各自自己是一個集合(各自為王),你可能會問為啥是-1而不是一個其他的數,那是因為用負數可以代表這個元素是某個集合的根,然後它的權值表示集合中元素的個數。

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並 union(int a,int b)

這裡合併,並沒有你想象的直接合並那麼簡單,這裡合併是合併a所在的集合和b所在的集合,但在操作層面a,b可能並不是根節點,所以也要先判斷一下。

為了便於理解,這裡羅列一下最初操作可能的情況,初始時候各個元素都是獨立的集合,那麼直接a指向b(或者b指向a)即arr[a]=b,同時為了表示這個集合有多少個,原本-1的b再次-1.即arr[b]=-2.表示以b為父根的集合節點有|-2|個。例如進行union(1,4),union(5,7)操作之後如圖所示:

並查集是一種怎樣的資料結構?並查集是一種怎樣的資料結構?

 

正常情況的union(int a,int b),假設我們就是a合併到b上,把b當成父集合來看。a、b都可能是葉子節點,也可能是根節點。

此時你可以先分別找到a,b的父節點fa,fb(這個根可能是它自己),然後合併fa和fb兩個節點,例如上面如果union(1,5)那麼其實就是等價union(4,7)。

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為什麼不直接操作a,b而是要找到他們的父親進行操作?

原因1是因為a,b可能是葉子節點,其值是正的表示已經有父親了,如果直接操作會使其與原來的集合分離開。另外集合中的數量(負數)也不能有效疊加。

並查集是一種怎樣的資料結構?並查集是一種怎樣的資料結構?

原因2是因為合併的時候如果合併如果a,b是非根節點操作,可能會造成這個樹的深度太大,不利於集合a中的查詢效率。

並查集是一種怎樣的資料結構?並查集是一種怎樣的資料結構?

 

查 search(int a)

查詢,其實就是查詢這個節點的根節點是啥(也稱代表元),這個過程也有點類似遞迴的過程,葉子節點值如果為正,那麼就繼續查詢這個值得位置的結果,一直到值為負數的時候說明找到根節點,可以直接返回。

不過在查詢的過程中可以順便路徑優化,這樣在頻繁查詢能夠大大降低時間複雜度。

優化

你以為上面的就是並查集的全部?不不不,並查集還有不少需要掌握嘞,估計細心的人可能也會發現一些問題。

你可能會有疑問:

如何檢視a,b是否在同一個集合?

檢視是否在一個集合,只需要檢視節點根祖先的結果是否相同即可。因為只有根的數值是負的,而其他都是正數表示指向的元素。所以只需要一直尋找直到不為正數進行比較即可!

a,b合併,究竟是a的祖先合併在b的祖先上,還是b的祖先合併在a上?

這裡會遇到兩種情況,這個選擇也是非常重要的。你要弄明白一點:樹的高度+1的化那麼整個元素查詢的效率都會降低!

所以我們通常是:小樹指向大樹(或者低樹指向高樹),這個使得查詢效率能夠增加!

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當然,在高度和數量的選擇上,還需要你自己選擇和考慮。

查詢途中能不能路徑壓縮

每次查詢,自下向上。當我們呼叫遞迴的時候,可以順便壓縮路徑(將當前陣列的值等於遞迴返回的根節點的值),我們查詢一個元素只需要直接找到它的祖先,所以當它距離祖先近那麼下次查詢就很快。並且壓縮路徑的代價並不大!

試想一下,如果一個分支的深度為1000,不壓縮路徑那麼這個分支每個節點平均查詢次數為500,壓縮一次下次再查詢就是1次。

學會路徑壓縮,你基本可以秒殺大部分並查集的題。

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程式碼實現

並查集實現起來較為簡單,直接貼程式碼!程式碼很久前寫的,如果有紕漏還請指出。

import java.util.Scanner;
public class DisjointSet {
    static int tree[]=new int[100000];//假設有500個值
    public DisjointSet()    {set(this.tree);}
    public DisjointSet(int tree[]) 
    {
        this.tree=tree;
        set(this.tree);
    }
  //初始化所有都是-1 有兩個好處,這樣他們指向-1說明是自己,
  //第二,-1代表當前森林有-(-1)個
    public void set(int a[])
    {
        int l=a.length;
        for(int i=0;i<l;i++)
        {
            a[i]=-1;
        }
    }
    public int search(int a)//返回頭節點的數值
    {
        if(tree[a]>0)//說明是子節點
        {
            return tree[a]=search(tree[a]);//路徑壓縮
        }
        else
            return a;
    }
    public int value(int a)//返回a所在樹的大小(個數)
    {
        if(tree[a]>0)
        {
            return value(tree[a]);
        }
        else
            return -tree[a];
    }
    public void union(int a,int b)//表示 a,b所在的樹合併
    {
        int a1=search(a);//a根
        int b1=search(b);//b根
        if(a1==b1) {System.out.println(a+"和"+b+"已經在一棵樹上");}
        else {
        if(tree[a1]<tree[b1])//這個是負數,為了簡單減少計算,不在呼叫value函式
        {
            tree[a1]+=tree[b1];//個數相加  注意是負數相加
            tree[b1]=a1;       //b樹成為a的子樹,直接指向a;
        }
        else
        {
            tree[b1]+=tree[a1];//個數相加  注意是負數相加
            tree[a1]=b1;       //b樹成為a的子樹,直接指向a;
        }
        }
    }
    public static void main(String[] args)
    {       
        DisjointSet d=new DisjointSet();
        d.union(1,2);
        d.union(3,4);
        d.union(5,6);
        d.union(1,6);

        d.union(22,24);
        d.union(3,26);
        d.union(36,24);
        System.out.println(d.search(6));    //頭
        System.out.println(d.value(6));     //大小
        System.out.println(d.search(22));   //頭
        System.out.println(d.value(22));     //大小
    }
}
並查集是一種怎樣的資料結構?

結語

並查集屬於簡單但是很高效率的資料結構。在集合中經常會遇到。如果不採用並查集而傳統暴力效率太低,而不被採納。

另外,並查集還廣泛用於迷宮遊戲中,下面有機會可以介紹用並查集實現一個走迷宮小遊戲。大家歡迎關注!

 

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