十一、雜湊表（一）

abc十號發表於2020-07-22

一、雜湊思想

  • 雜湊表的英文叫“Hash Table”，也叫它“雜湊表”或者“Hash表”。
  • 雜湊表用的是陣列支援按照下標隨機訪問資料的特性，所以雜湊表其實就是陣列的一種擴充套件，由陣列演化而來。可以說，如果沒有陣列，就沒有雜湊表。

舉個例子：

  • 假如有89名選手參加學校運動會。為了方便記錄成績，每個選手胸前都會貼上自己的參賽號碼。這89名選手的編號依次是1到89。

  • 現在希望程式設計實現這樣一個功能，通過編號快速找到對應的選手資訊。怎麼做呢？

    • 可以把這89名選手的資訊放在陣列裡。
    • 編號為1的選手，我們放到陣列中下標為1的位置；編號為2的選手，我們放到陣列中下標為2的位置。
    • 以此類推，編號為 k 的選手放到陣列中下標為 k 的位置。
    • 因為參賽編號跟陣列下標一一對應，當需要查詢參賽編號為 x 的選手的時候，只需要將下標為 x 的陣列元素取出來就可以了。
    • 時間複雜度就是 O(1)，這樣按照編號查詢選手資訊，效率很高。
    • 實際上，這個例子已經用到了雜湊的思想。在這個例子裡，參賽編號是自然數，並且與陣列的下標形成一一對映，所以利用陣列支援根據下標隨機訪問的時候，
      時間複雜度是O(1)這一特性，就可以實現快速查詢編號對應的選手資訊。

  • 在來改造一下這個例子。

  • 假設校長說，參賽編號不能設定得這麼簡單，要加上年級、班級這些更詳細的資訊。

    • 所以把編號的規則稍微修改了一下，用6位數字來表示。
    • 比如051167，其中，前兩位05表示年級，中間兩位11表示班級，最後兩位還是原來的編號1到89。
    • 這個時候該如何儲存選手資訊，才能夠支援通過編號來快速查詢選手資訊呢？
    • 思路還是跟前面類似。儘管此時不能直接把編號作為陣列下標，但可以擷取參賽編號的後兩位作為陣列下標，來存取選手資訊資料。
    • 當通過參賽編號查詢選手資訊的時候，用同樣的方法，取參賽編號的後兩位，作為陣列下標，來讀取陣列中的資料。
    • 這就是典型的雜湊思想。其中，參賽選手的編號叫作鍵（key）或者關鍵字。用它來標識一個選手。
    • 把參賽編號轉化為陣列下標的對映方法就叫作雜湊函式（或“Hash函式”“雜湊函式”），而雜湊函式計算得到的值就叫作雜湊值（或“Hash值”“雜湊值”）。

  • 通過上面的例子，可以總結出這樣的規律：

    • 雜湊表用的就是陣列支援按照下標隨機訪問的時候，時間複雜度是O(1)的特性。
    • 通過雜湊函式把元素的鍵值對映為下標，然後將資料儲存在陣列中對應下標的位置。
    • 當按照鍵值查詢元素時，用同樣的雜湊函式，將鍵值轉化陣列下標，從對應的陣列下標的位置取資料。

二、雜湊函式

  • 從上面的例子可以看到，雜湊函式在雜湊表中起著非常關鍵的作用。
  • 雜湊函式，顧名思義，它是一個函式。可以把它定義成 hash(key)，其中 key 表示元素的鍵值， hash(key) 的值表示經過雜湊函式計算得到的雜湊值。
  • 那第一個例子中，編號就是陣列下標，所以 hash(key) 就等於 key。
  • 改造後的例子，雜湊函式用虛擬碼表示就是下面這樣：
int hash(String key) {
      // 獲取後兩位字元
      string lastTwoChars = key.substr(length-2, length);
      // 將後兩位字元轉換為整數
      int hashValue = convert lastTwoChas to int-type;
      return hashValue;
}
  • 雜湊函式設計的基本要求：
    1. 雜湊函式計算得到的雜湊值是一個非負整數；
    2. 如果key1 = key2，那 hash(key1) == hash(key2)；
    3. 如果key1 ≠ key2，那 hash(key1) ≠ hash(key2)。
  • 解釋一下這三點:
    • 其中，第一點因為陣列下標是從0開始的，所以雜湊函式生成的雜湊值也要是非負整數。
    • 第二點相同的 key，經過雜湊函式得到的雜湊值也應該是相同的。
    • 第三點看起來合情合理，但是在真實的情況下，要想找到一個不同的key對應的雜湊值都不一樣的雜湊函式，幾乎是不可能的。即便像業界著名的MD5、 SHA、 CRC等雜湊演算法，也無法完全避免這種雜湊衝突。而且，因為陣列的儲存空間有限，也會加大雜湊衝突的概率。
    • 所以幾乎無法找到一個完美的無衝突的雜湊函式，即便能找到，付出的時間成本、計算成本也是很大的，所以針對雜湊衝突問題，需要通過其他途徑來
      解決。

三、雜湊衝突

再好的雜湊函式也無法避免雜湊衝突。常用的雜湊衝突解決方法有兩類，開放定址法（open addressing）和連結串列法（chaining）。

3.1、開放定址法

開放定址法的核心思想是，如果出現了雜湊衝突，就重新探測一個空閒位置，將其插入。

1.線性探測

  • 重新探測新的位置一個比較簡單的探測方法是線性探測（Linear Probing）。

  • 當往雜湊表中插入資料時，如果某個資料經過雜湊函式雜湊之後，儲存位置已經被佔用了，就從當前位置開始，依次往後查詢，看是否有空閒位置，直到找到為止。

  • 從圖中可以看出，雜湊表的大小為10，在元素 x 插入雜湊表之前，已經6個元素插入到雜湊表中。 x 經過 Hash 演算法之後，被雜湊到位置下標為7的位置，但是這個位置已經有資料了，所以就產生了衝突。於是就順序地往後一個一個找，看有沒有空閒的位置，遍歷到尾部都沒有找到空閒的位置，於是再從表頭開始找，直到找到空閒位置2，於是將其插入到這個位置。

查詢操作：

  • 在雜湊表中查詢元素的過程有點兒類似插入過程。
  • 通過雜湊函式求出要查詢元素的鍵值對應的雜湊值，然後比較陣列中下標為雜湊值的元素和要查詢的元素。
  • 如果相等，則說明就是要找的元素；否則就順序往後依次查詢。如果遍歷到陣列中的空閒位置，還沒有找到，就說明要查詢的元素並沒有在雜湊表中。

刪除操作：

  • 雜湊表跟陣列一樣，不僅支援插入、查詢操作，還支援刪除操作。
  • 對於使用線性探測法解決衝突的雜湊表，刪除操作稍微有些特別。不能單純地把要刪除的元素設定為空。
  • 在查詢的時候，一旦通過線性探測方法，找到一個空閒位置，就可以認定雜湊表中不存在這個資料。
  • 但是，如果這個空閒位置是後來刪除的，就會導致原來的查詢演算法失效。本來存在的資料，會被認定為不存在。
  • 此時可以將刪除的元素，特殊標記為 deleted。當線性探測查詢的時候，遇到標記為 deleted 的空間，並不是停下來，而是繼續往下探測。

2.其他方法

  • 線性探測法其實存在很大問題。當雜湊表中插入的資料越來越多時，雜湊衝突發生的可能性就會越來越大，空閒位置會越來越少，線性探測的時間就會越來越久。
  • 極端情況下，可能需要探測整個雜湊表，所以最壞情況下的時間複雜度為O(n)。
  • 同理，在刪除和查詢時，也有可能會線性探測整張雜湊表，才能找到要查詢或者刪除的資料。
  • 對於開放定址衝突解決方法，除了線性探測方法之外，還有另外兩種比較經典的探測方法， 二次探測（Quadratic probing）和雙重雜湊（Double hashing）。

二次探測

  • 跟線性探測很像，線性探測每次探測的步長是1，那它探測的下標序列就是 hash(key)+0， hash(key)+1， hash(key)+2……
  • 而二次探測探測的步長就變成了原來的“二次方”，也就是說，它探測的下標序列就是 hash(key)+0， hash(key)+1²， hash(key)+2²……

雙重雜湊

  • 就是不僅要使用一個雜湊函式。使用一組雜湊函式 hash1(key)， hash2(key)， hash3(key)……
  • 先用第一個雜湊函式，如果計算得到的儲存位置已經被佔用，再用第二個雜湊函式，依次類推，直到找到空閒的儲存位置。

總結一下：

  • 不管採用哪種探測方法，當雜湊表中空閒位置不多的時候，雜湊衝突的概率就會大大提高。
  • 為了儘可能保證雜湊表的操作效率，一般情況下，會盡可能保證雜湊表中有一定比例的空閒槽位。
  • 用裝載因子（load factor）來表示空位的多少。
  • 裝載因子的計算公式是：
    • 雜湊表的裝載因子 = 填入表中的元素個數 / 雜湊表的長度
  • 裝載因子越大，說明空閒位置越少，衝突越多，雜湊表的效能會下降。

3.2、連結串列法

  • 連結串列法是一種更加常用的雜湊衝突解決辦法，相比開放定址法，它要簡單很多。

  • 如下圖所示，在雜湊表中，每個“桶（bucket） ”或者“槽（slot） ”會對應一條連結串列，所有雜湊值相同的元素都放到相同槽位對應的連結串列中。

  • 當插入的時候，只需要通過雜湊函式計算出對應的雜湊槽位，將其插入到對應連結串列中即可，所以插入的時間複雜度是O(1)。

  • 當查詢、刪除一個元素時，同樣通過雜湊函式計算出對應的槽，然後遍歷連結串列查詢或者刪除。

  • 查詢或刪除操作的時間複雜度跟連結串列的長度 k 成正比，也就是 O(k)。對於雜湊比較均勻的雜湊函式來說，理論上講， k=n/m，其中 n 表示雜湊中資料的個數，m 表示雜湊表中“槽”的個數。

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