如何從最壞、平均、最好的情況分析複雜度？

彤哥讀原始碼發表於2020-07-22
複雜度

file

本篇文章收錄於專輯：http://dwz.win/HjK

前言

你好，我是彤哥，一個每天爬二十六層樓還不忘讀原始碼的硬核男人。

上一節，我們從事後統計法過渡到漸近分析法，詳細講解了如何進行演算法的複雜度分析。

但是，如果遵循嚴格的漸近分析法，需要掌握大量數學知識，這無疑給我們評估演算法的優劣帶來了很大的挑戰。

那麼，有沒有更好地評估演算法的方法呢？

答案是必然的，本節，我們就從最壞、平均、最好三種情況來分析分析複雜度。

案例

為了便於講解，我寫了一個小例子：

public class LinearSearch {
    public static void main(String[] args) {
        int[] array = new int[]{1, 8, 9, 3, 5, 6, 10, 13};
        int index = search(array, 10);
        System.out.println("index=" + index);
    }

    private static int search(int[] array, int value) {
        for (int i = 0; i < array.length; i++) {
            if (array[i] == value) {
                return i;
            }
        }
        return -1;
    }
}

這個例子使用線性搜尋從一個陣列中查詢一個元素，這個元素有可能存在，也有可能不存在於陣列中。

最壞情況

在最壞情況下，要查詢的元素不存在於陣列中，此時，它的時間複雜度是多少呢？

很簡單，必然需要遍歷完所有元素才會發現要查詢的元素不存在於陣列中。

所以，最壞情況下，使用線性查詢的時間複雜度為O(n)。

平均情況

在平均情況下，我們要照顧到每一個元素，此時，它的時間複雜度如何計算呢？

在上一節，我們已經講過計算方式了，不過，這裡考慮到有元素不存在於陣列中，所以，是(n+1)種可能：

1*1/(n+1) + 2*/(n+1) + ... + n*1/(n+1) + (n+1)/(n+1) = 1/(n+1) * (n+1)(n+2)/2 = (n+2)/2

所以，在平均情況下，忽略掉常數項，使用線性查詢的時間複雜度也是O(n)。

為什麼要忽略掉常數項？

當n趨向於無窮大的時候，常數項的意義不是很大，所以，可以忽略，比如(n+2)/2=n/2 + 1，n本身已經趨向於無窮大，加不加1有什麼意義呢，n的倍數是2還是1/2並不會有明顯的差別。

同樣地，低階項一般也會抹掉，比如2n^2 + 3n + 1，當n趨向於無窮大的時候，n^2的值是遠遠大於3n的，所以，不需要保留3n。

所以，計算複雜度時通常都會把常數項和低階項抹掉，只保留高階項。

最好情況

最好情況是什麼呢？

如果我們要查詢的元素正好是陣列的第一個元素，查詢一次就找到了，這無疑是最好的情況。

所以，在最好情況下，使用線性查詢的時間複雜度是O(1)。

小結

通過上面的分析，可以看到，最壞情況和最好情況是比較好評估的，而平均情況則比較難以計算。

但是，最好情況又不能代表大多數樣本，且平均情況與最壞情況在省略常數項的情況下往往是比較接近的。

所以，通常，我們使用最壞情況來評估演算法的時間複雜度，這也是比較簡單的一種評估方法，且往往也是比較準確的。

後記

本節，我們從最壞、平均、最好三種情況分析了線性查詢的時間複雜度，經過詳細地分析，我們得出結論，通常使用最壞情況來評估演算法的時間複雜度。

請注意，我們這裡使用了“通常”，說明有些情況是不能使用最壞情況來評估演算法的時間複雜度的。

那麼，你知道什麼情況下不能使用最壞情況來評估演算法的時間複雜度嗎？

下一節，我們接著聊。

關注公眾號“彤哥讀原始碼”，解鎖更多原始碼、基礎、架構知識！

相關文章