[題解]P4310 絕世好題

思路

定義 \(dp_i\) 表示在 \(a_{1 \sim i}\) 中選數，在滿足題意的情況下的最長長度。

那麼，我們在轉移 \(dp_i\) 的時候，可以列舉一個 \(j\) 表示在 \(b\) 中，當前數的上一個數在 \(a\) 中的位置。

如果有 a[i] & a[j] != 0，那麼，有轉移 \(dp_i = \max(dp_j +1 )\)。

但是，這樣時間複雜度為 \(\Theta(n^2)\)，只能獲得 90 pts，考慮用二進位制最佳化。

不難發現，對於 \(dp_i\) 能被 \(dp_j\) 轉移，當且僅當 a[i] & a[j] != 0，即 \(a_i\) 和 \(a_j\) 的二進位制中有一位都是 \(1\)。

那麼，我們可以用 \(dp\) 陣列維護第 \(i\) 位為 \(1\) 的最長長度。由此，定義 \(dp_i\) 表示選擇二進位制中第 \(i\) 位為 \(1\) 的最長長度。

那麼，對於每一個 \(a_i\) 都能被滿足 (1 << j) & a[i] 的 \(dp_j\) 轉移。然後，這樣可以找到一個 \(\max\)，再用這個 \(\max\) 更新 \(dp\) 即可。

Code

#include <bits/stdc++.h>  
#define re register  
  
using namespace std;  
  
const int N = 25;  
int n,ans;  
int dp[N];  
  
inline int read(){  
    int r = 0,w = 1;  
    char c = getchar();  
    while (c < '0' || c > '9'){  
        if (c == '-') w = -1;  
        c = getchar();  
    }  
    while (c >= '0' && c <= '9'){  
        r = (r << 3) + (r << 1) + (c ^ 48);  
        c = getchar();  
    }  
    return r * w;  
}  
  
int main(){  
    n = read();  
    for (re int i = 1;i <= n;i++){  
        int x,Max = 0;  
        x = read();  
        for (re int j = 0;(1 << j) <= x;j++){  
            if ((1 << j) & x) Max = max(Max,dp[j] + 1);  
        }  
        for (re int j = 0;(1 << j) <= x;j++){  
            if ((1 << j) & x) dp[j] = Max;  
        }  
        ans = max(ans,Max);  
    }  
    printf("%d",ans);  
    return 0;  
}