NLP（二十九）一步一步，理解Self-Attention

山陰少年發表於2020-05-07

  本文大部分內容翻譯自Illustrated Self-Attention, Step-by-step guide to self-attention with illustrations and code，僅用於學習，如有翻譯不當之處，敬請諒解！

什麼是Self-Attention（自注意力機制）？

  如果你在想Self-Attention（自注意力機制）是否和Attention（注意力機制）相似，那麼答案是肯定的。它們本質上屬於同一個概念，擁有許多共同的數學運算。
  一個Self-Attention模組擁有n個輸入，返回n個輸出。這麼模組裡面發生了什麼？從非專業角度看，Self-Attention（自注意力機制）允許輸入之間互相作用（“self”部分），尋找出誰更應該值得注意（“attention”部分）。輸出的結果是這些互相作用和注意力分數的聚合。

一步步理解Self-Attention

  理解分為以下幾步：

  1. 準備輸入；
  2. 初始化權重；
  3. 獲取key，query和value；
  4. 為第1個輸入計算注意力分數；
  5. 計算softmax;
  6. 將分數乘以values；
  7. 對權重化後的values求和，得到輸出1；
  8. 對其餘的輸入，重複第4-7步。

注意：實際上，這些數學運算都是向量化的，也就是說，所有的輸入都會一起經歷這些數學運算。我們將會在後面的程式碼部分看到。

第一步：準備輸入

準備資料
在這個教程中，我們從3個輸入開始，每個輸入的維數為4。

Input 1: [1, 0, 1, 0] 
Input 2: [0, 2, 0, 2]
Input 3: [1, 1, 1, 1]

第二步：初始化權重

  每個輸入必須由三個表示（看下圖）。這些輸入被稱作key（橙色），query（紅色）value（紫色）。在這個例子中，我們假設我們想要的表示維數為3。因為每個輸入的維數為4，這就意味著每個權重的形狀為4×3。

注意：我們稍後會看到value的維數也是output的維數。

從每個輸入中獲取key，value，query的表示
  為了獲取這些表示，每個輸入（綠色）會乘以一個權重的集合得到keys，乘以一個權重的集合得到queries，乘以一個權重的集合得到values。在我們的例子中，我們初始化三個權重的集合如下。
  key的權重：

[[0, 0, 1],
 [1, 1, 0],
 [0, 1, 0],
 [1, 1, 0]]

  query的權重：

[[1, 0, 1],
 [1, 0, 0],
 [0, 0, 1],
 [0, 1, 1]]

  value的權重：

[[0, 2, 0],
 [0, 3, 0],
 [1, 0, 3],
 [1, 1, 0]]

注意： 在神經網路設定中，這些權重通常都是一些小的數字，利用隨機分佈，比如Gaussian, Xavier and Kaiming分佈，隨機初始化。在訓練開始前已經完成初始化。

第三步：獲取key，query和value；

  現在我們有了3個權重的集合，讓我們來給每個輸入獲取key，query和value。
  第1個輸入的key表示：

               [0, 0, 1]
[1, 0, 1, 0] x [1, 1, 0] = [0, 1, 1]
               [0, 1, 0]
               [1, 1, 0]

  利用相同的權重集合獲取第2個輸入的key表示：

               [0, 0, 1]
[0, 2, 0, 2] x [1, 1, 0] = [4, 4, 0]
               [0, 1, 0]
               [1, 1, 0]

  利用相同的權重集合獲取第3個輸入的key表示：

               [0, 0, 1]
[1, 1, 1, 1] x [1, 1, 0] = [2, 3, 1]
               [0, 1, 0]
               [1, 1, 0]

  更快的方式是將這些運算用向量來描述：

               [0, 0, 1]
[1, 0, 1, 0]   [1, 1, 0]   [0, 1, 1]
[0, 2, 0, 2] x [0, 1, 0] = [4, 4, 0]
[1, 1, 1, 1]   [1, 1, 0]   [2, 3, 1]

獲取key表示
  讓我們用相同的操作來獲取每個輸入的value表示：
獲取value
最後是query的表示：

               [1, 0, 1]
[1, 0, 1, 0]   [1, 0, 0]   [1, 0, 2]
[0, 2, 0, 2] x [0, 0, 1] = [2, 2, 2]
[1, 1, 1, 1]   [0, 1, 1]   [2, 1, 3]

獲取query

注意：實際上，一個偏重向量也許會加到矩陣相乘後的結果。

第四步：為第1個輸入計算注意力分數

為第1個輸入計算注意力分數（藍色）
  為了獲取注意力分數，我們從輸入1的query（紅色）和所有keys（橙色）的點積開始。因為有3個key表示（這是由於我們有3個輸入），我們得到3個注意力分數（藍色）。

            [0, 4, 2]
[1, 0, 2] x [1, 4, 3] = [2, 4, 4]
            [1, 0, 1]

注意到我們只用了輸入的query。後面我們會為其他的queries重複這些步驟。

第五步：計算softmax

對注意力分數進行softmax運算
  對這些注意力分數進行softmax函式運算（藍色部分）。

softmax([2, 4, 4]) = [0.0, 0.5, 0.5]

第六步： 將分數乘以values

將value（紫色）和score（藍色）相乘得到權重化value的表示
  將每個輸入（綠色）的softmax作用後的注意力分數乘以各自對應的value（紫色）。這會產生3個向量（黃色）。在這個教程中，我們把它們稱作權重化value。

1: 0.0 * [1, 2, 3] = [0.0, 0.0, 0.0]
2: 0.5 * [2, 8, 0] = [1.0, 4.0, 0.0]
3: 0.5 * [2, 6, 3] = [1.0, 3.0, 1.5]

第七步：對權重化後的values求和，得到輸出1

將權重後value（黃色）相加得到輸出1
  將權重後value按元素相加得到輸出1：

  [0.0, 0.0, 0.0]
+ [1.0, 4.0, 0.0]
+ [1.0, 3.0, 1.5]
-----------------
= [2.0, 7.0, 1.5]

  產生的向量[2.0, 7.0, 1.5]（暗綠色）就是輸出1，這是基於輸入1的query表示與其它的keys，包括它自身的key互相作用的結果。

第八步：對輸入2、3，重複第4-7步

  既然我們已經完成了輸入1，我們重複步驟4-7能得到輸出2和3。這個可以留給讀者自己嘗試，相信聰明的你可以做出來。
重複之前的步驟，得到輸出2和3

程式碼

  這裡有PyTorch的實現程式碼，PyTorch是一個主流的Python深度學習框架。為了能夠很好地使用程式碼片段中的@運算子, .T and None操作，請確保Python≥3.6，PyTorch ≥1.3.1。

1. 準備輸入

import torch

x = [
  [1, 0, 1, 0], # Input 1
  [0, 2, 0, 2], # Input 2
  [1, 1, 1, 1]  # Input 3
 ]
x = torch.tensor(x, dtype=torch.float32)

2. 初始化權重

w_key = [
  [0, 0, 1],
  [1, 1, 0],
  [0, 1, 0],
  [1, 1, 0]
]
w_query = [
  [1, 0, 1],
  [1, 0, 0],
  [0, 0, 1],
  [0, 1, 1]
]
w_value = [
  [0, 2, 0],
  [0, 3, 0],
  [1, 0, 3],
  [1, 1, 0]
]
w_key = torch.tensor(w_key, dtype=torch.float32)
w_query = torch.tensor(w_query, dtype=torch.float32)
w_value = torch.tensor(w_value, dtype=torch.float32)

3. 獲取key，query和value


keys = x @ w_key
querys = x @ w_query
values = x @ w_value

print(keys)
# tensor([[0., 1., 1.],
#         [4., 4., 0.],
#         [2., 3., 1.]])

print(querys)
# tensor([[1., 0., 2.],
#         [2., 2., 2.],
#         [2., 1., 3.]])

print(values)
# tensor([[1., 2., 3.],
#         [2., 8., 0.],
#         [2., 6., 3.]])

4. 為第1個輸入計算注意力分數

attn_scores = querys @ keys.T

# tensor([[ 2.,  4.,  4.],  # attention scores from Query 1
#         [ 4., 16., 12.],  # attention scores from Query 2
#         [ 4., 12., 10.]]) # attention scores from Query 3

5. 計算softmax

from torch.nn.functional import softmax

attn_scores_softmax = softmax(attn_scores, dim=-1)
# tensor([[6.3379e-02, 4.6831e-01, 4.6831e-01],
#         [6.0337e-06, 9.8201e-01, 1.7986e-02],
#         [2.9539e-04, 8.8054e-01, 1.1917e-01]])

# For readability, approximate the above as follows
attn_scores_softmax = [
  [0.0, 0.5, 0.5],
  [0.0, 1.0, 0.0],
  [0.0, 0.9, 0.1]
]
attn_scores_softmax = torch.tensor(attn_scores_softmax)

6. 將分數乘以values

weighted_values = values[:,None] * attn_scores_softmax.T[:,:,None]

# tensor([[[0.0000, 0.0000, 0.0000],
#          [0.0000, 0.0000, 0.0000],
#          [0.0000, 0.0000, 0.0000]],
# 
#         [[1.0000, 4.0000, 0.0000],
#          [2.0000, 8.0000, 0.0000],
#          [1.8000, 7.2000, 0.0000]],
# 
#         [[1.0000, 3.0000, 1.5000],
#          [0.0000, 0.0000, 0.0000],
#          [0.2000, 0.6000, 0.3000]]])

7. 對權重化後的values求和，得到輸出

outputs = weighted_values.sum(dim=0)

# tensor([[2.0000, 7.0000, 1.5000],  # Output 1
#         [2.0000, 8.0000, 0.0000],  # Output 2
#         [2.0000, 7.8000, 0.3000]]) # Output 3

注意：PyTorch已經提供了這個API，名字為nn.MultiheadAttention。但是，這個API需要你提供PyTorch的Tensor形式的key，value，query。還有，這個模組的輸出會經歷一個線性變換。

自己實現？

  以下是筆者自己寫的部分。
  對於不熟悉PyTorch的讀者來說，上述的向量操作理解起來有點困難，因此，筆者自己用簡單的Python程式碼實現了一遍上述Self-Attention的過程。
  完整的Python程式碼如下：

# -*- coding: utf-8 -*-

from typing import List
import math
from pprint import pprint

x = [[1, 0, 1, 0], # Input 1
     [0, 2, 0, 2], # Input 2
     [1, 1, 1, 1]  # Input 3
    ]

w_key = [[0, 0, 1],
        [1, 1, 0],
        [0, 1, 0],
        [1, 1, 0]
        ]

w_query = [[1, 0, 1],
            [1, 0, 0],
            [0, 0, 1],
            [0, 1, 1]
          ]

w_value = [[0, 2, 0],
            [0, 3, 0],
            [1, 0, 3],
            [1, 1, 0]
          ]


# vector dot of two vectors
def vector_dot(list1: List[float or int], list2: List[float or int]) -> float or int:
    dot_sum = 0
    for element_i, element_j in zip(list1, list2):
        dot_sum += element_i * element_j

    return dot_sum


# get weights matrix by x, using matrix multiplication
def get_weights_matrix_by_x(x, weight_matrix):
    x_matrix = []
    for i in range(len(x)):
        x_row = []
        for j in range(len(weight_matrix[0])):
            x_row.append(vector_dot(x[i], [_[j] for _ in weight_matrix]))

        x_matrix.append(x_row)

    return x_matrix


# softmax function
def softmax(x: List[float or int]) -> List[float or int]:
    x_sum = sum([math.exp(_) for _ in x])
    return [math.exp(_)/x_sum for _ in x]


x_key = get_weights_matrix_by_x(x, w_key)
x_value = get_weights_matrix_by_x(x, w_value)
x_query = get_weights_matrix_by_x(x, w_query)
# print(x_key)
# print(x_value)
# print(x_query)

outputs = []
for query in x_query:
    score_list = [vector_dot(query, key) for key in x_key]
    softmax_score_list = softmax(score_list)

    weights_list = []
    for i in range(len(softmax_score_list)):
        weights = [softmax_score_list[i] * _ for _ in x_value[i]]
        weights_list.append(weights)

    output = []
    for j in range(len(weights_list[0])):
        output.append(sum([_[j] for _ in weights_list]))

    outputs.append(output)

pprint(outputs)

輸出結果如下：

[[1.9366210616669624, 6.683105308334811, 1.5950684074995565],
 [1.9999939663351456, 7.9639915951322156, 0.0539764053125496],
 [1.9997046127769653, 7.759892254657784, 0.3583892946751152]]

總結

  本文主要講述瞭如何一步一步來實現Self-Attention機制，對於想要自己實現演算法的讀者來說，值得一讀。
  本文分享到此結束，感謝大家的閱讀~

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