2024數學高考壓軸題
題面
懶得打，直接放。
解
- (1)
\((1,2),(5,6),(1,6)\)。
- (2)
考慮，\(a_1,a_3,a_4,\dots,a_12,a_14\)，可以透過這樣的方式分成 \(3\) 個等差數列：
\[\begin{matrix}
a_1,a_4,a_7,a_{10};
\\a_3,a_6,a_9,a_{12};
\\a_5,a_8,a_{11},a_{14}.
\end{matrix}
\]
使得每一個序列都為等差序列，然後 \(a_{14}\) 後面的數可以相鄰 \(4\) 個為一個等差數列。
綜上，\(\forall m\ge 3\) 時，原序列為可分序列。
- (3)
設 \(f(m)\) 為長度為 \(4m+2\) 的等差序列可以使得剩下的序列為一一可分序列的數對個數，簡稱合法數對個數。
顯然對於 \(\forall i=4t+1,(t=0,1,2,\dots,m)\)，\((i,i+1)\) 都是合法數對，這樣的數對個數為 \(m+1\)。
考慮一個長度為 \(4t+2,(t=1,1,2,\dots,m)\) 的序列：
- 當 \(t\ge 2\) 時，我們先把序列如下敘述方式分割：
\[\begin{matrix}
a_1,a_{t+1},a_{2t+1},a_{3t+1},a_{4t+1};
\\a_2,a_{t+2},a_{2t+2},a_{3t+2},a_{4t+2};
\\a_3,a_{t+3},a_{2t+3},a_{3t+3};
\\\vdots
\\a_t,a_{2t},a_{3t},a_{4t}.
\end{matrix}
\]
易得每一個序列都為等差序列。
又 $\because $ 除第一、二個序列長度為 \(5\) 外，其他長度序列均為 \(4\)。
\(\therefore\) 將第一個序列的開頭、第二個序列的結尾刪除，或將第一個序列的結尾、第二個序列的開頭刪除，可以使合法數對個數增加 \(2\)。
- 當 \(t=1\) 時，由 \((1)\) 得，合法且數對內數字不相鄰數對的個數為 \(1\)。
對於一個長度為 \(4m+2\) 得序列，我們可以刪除開頭和結尾長度為 \(4\) 的倍數的序列，使得剩下的序列長度為 \(4t+2\)，然後形如於上文方式選擇即可。
綜上
\[f(m)=m+1+\sum_{t=1}^m t+\sum_{t=2}^m 2(m-t+1)=m+1+m+m(m-1)=m^2+m+1
\]
則
\[P_m=\frac{f(m)}{C_{4m+2}^{2}}=\frac{m^2+m+1}{8m^2+8m+1}=\frac{1}{8}+\frac{\frac{7}{8} }{8m^2+8m+1}
\]
由 \(m\ge 1\) 易得 \(8m^2+8m+1>0\)，
故 $P_m> \frac{1}{8} $。