2023浙江新高考一卷第22題題解

[題意]

在直角座標系\(xOy\)中，點\(P\)到\(x\)軸的距離等於點\(P\)到點\((0,\frac{1}{2})\)的距離，記動點\(P\)的軌跡為\(W\)。

1）求\(W\)的方程。

2）已知矩形\(ABCD\)有三個頂點在\(W\)上，證明：矩形\(ABCD\)的周長大於\(3\sqrt{3}\)

[題解]

1）

根據題意列出方程即可。

\[y=\sqrt{x^2+(y-\frac{1}{2})^2} \]

等式兩邊同時平方：

\[y^2=x^2+y^2-y+\frac{1}{4} \]

化簡有：

\[y=x^2+\frac{1}{4} \]

2）

設\(A,B,C\)為拋物線上的三個點，並且有：

\(x_A<x_B<x_C, AB\perp BC\)。

問題等價於，求證：

\[min(AB+BC)>\frac{3\sqrt{3}}{2} \]

為簡化計算，我們將整個拋物線向下平移\(\frac{1}{4}\)，顯然不影響答案。

設\(x_B=x_0\)，直線\(AB\)的斜率為\(k\)，直線\(BC\)的斜率為\(-\frac{1}{k}\)

嘗試將\(A\)的座標用\(x_0\)和\(k\)表示。

先寫出拋物線的方程和\(AB\)的方程。\(AB\)的方程設立有技巧，要充分運用\(AB\)過\((x_0, x_0^2+\frac{1}{4})\)這個條件。

\[y=x^2\\ y=k(x-x_0)+x_0^2 \]

聯立上述式子：

\[x^2= k(x-x_0)+x_0^2 \]

化簡有：

\[x^2-kx+kx_0-x_0^2=0 \]

此時不要暴力求根。想到\(x_0\)已經是這個方程的一個根，考慮提取\((x-x_0)\)，作因式分解。先整理一下順序：

\[x^2-x_0^2-k(x-x_0)=0\\ (x-x_0)(x+x_0)-k(x-x_0)=0\\ (x-x_0)(x+x_0-k)=0 \]

得到另一個根是\(k-x_0\)。

因此點\(A\)為\((k-x_0, (k-x_0)^2)\)。

把\(k\)替換為\(-\frac{1}{k}\)，點\(C\)為\((-\frac{1}{k}-x_0, (-\frac{1}{k}-x_0)^2)\)

那麼：

\[|AB|=\sqrt{k^2+1}\times |x_B-x_A|\\ =\sqrt{k^2+1}\times|k-2x_0|\\ |AC|=\sqrt{\frac{1}{k^2}+1}\times|\frac{1}{k}+2x_0|\\ |AB|+|AC|=\sqrt{k^2+1}\times(|k-2x_0|+\frac{1}{k}|2x_0+\frac{1}{k}|) \]

設\(k\)不變，考慮只變\(x_0\)能取到的\(min(|AB|+|AC|)\)

等價於讓下面這個柿子的值最小。我們記這個柿子為原式。

\[|k-2x_0|+\frac{1}{k}|2x_0+\frac{1}{k}| \]

看到絕對值首先想到它的幾何意義，設在數軸上點\(2x_0\)到\(k\)的距離為\(d_1\)，和到\(-\frac{1}{k}\)的距離為\(d_2\)，等價於讓\(d_1+\frac{1}{k}d_2\)的值最小。

\(k,-\frac{1}{k}\)必有一個大於\(0\)，一個小於\(0\)。不妨設\(k>0\)。

顯然\(2x_0\)在區間\([-\frac{1}{k},k]\)內比在區間外更優。

因此原式可以簡化為：

\[(2x_0+\frac{1}{k})\frac{1}{k}+k-2x_0 \\=2x_0(\frac{1}{k}-1)+\frac{1}{k^2}+k \]

這是一個單調的函式。下面根據\(k\)的值分類討論。

情況1

如果\(0<k<1\)，\(\frac{1}{k}-1>0\)，\(2x_0\)取到區間左端點\(k\)最優，原式化簡為：

\[k(\frac{1}{k}-1)+\frac{1}{k^2}+k=\frac{1}{k^2}+1\\ |AB|+|AC|\geq\sqrt{k^2+1}(\frac{1}{k^2}+1)=\frac{(k^2+1)^{\frac{3}{2}}}{k^2},\\0<k<1 \]

令\(k^2=t\)，有：

\[|AB|+|AC|\geq\frac{(t^2+1)^\frac{3}{2}}{t}, 0<t<1 \]

這個柿子很麻煩，考慮先求\((|AB|+|AC|)^2\)的最小值：

\[(|AB|+|AC|)^2\geq\frac{(t^2+1)^3}{t^4}, 0<t<1 \]

再次換元，令\(m=t^2\)，有：

\[(|AB|+|AC|)^2\geq\frac{(m+1)^3}{m^2}, 0<m<1 \]

情況2

如果\(k=1\)，原式的值恆定為2，有：

\[|AB|+|AC|=2\sqrt{2} \]

情況3

如果\(k>1\)，\(\frac{1}{k}-1<0\)，\(2x_0\)取到區間右端點\(k\)最優，後續變化同情況1。只是\(m\)的取值範圍擴充套件到\(>1\)。

因此我們可以合併三種情況，問題等價於：

\[(|AB|+|AC|)^2\geq\frac{(m+1)^3}{m^2},m>0 \]

我們想要儘可能放低下界，也就是讓不等號的右側儘可能小，來獲取\(|AB|+|AC|\)的最小值。

令：

\[g(x)=\frac{(x+1)^3}{x^2},x>0 \]

則：

\[g'(x)=\frac{3(x+1)^2\times x^2-(x+1)^3\times2x}{x^4}\\ =\frac{3(x+1)^2\times x-(x+1)^3\times2}{x^3}\\ =\frac{(x+1)^2\times(3x-2x-2)}{x^3}\\ =\frac{(x+1)^2\times(x-2)}{x^3} \]

顯然\(2\)是\(g'(x)\)的零點，並且當\(x\in[0,2)\)時，\(g'(x)<0\)，\(x\in(2,+\infty)\)時，\(g'(x)>0\)。

因此當\(x=2\)時，\(g(x)\)取到最小值為\(\frac{27}{4}\)。

\[(|AB|+|AC|)^2=\frac{27}{4}\\ |AB|+|AC|=\frac{3\sqrt{3}}{2} \]

[來源]

新高考一卷2023