LeetCode Unique Paths（062）解法總結

描述

Above is a 7 x 3 grid. How many possible unique paths are there?

Example 1:

Input: m = 3, n = 2
Output: 3
Explanation:
From the top-left corner, there are a total of 3 ways to reach the bottom-right corner:
1. Right -> Right -> Down
2. Right -> Down -> Right
3. Down -> Right -> Right複製程式碼

Example 2:

Input: m = 7, n = 3
Output: 28複製程式碼

Constraints:

1 <= m, n <= 100
It's guaranteed that the answer will be less than or equal to 2 * 10 ^ 9.複製程式碼

思路

在知乎上學到了動態規劃的基本知識，就找了這道題作為練習鞏固。

此題以棋盤為dp陣列的形象描述，有助於初學者進行理解。

• 除第一行及第一列的格子只有一種到達方式外，其他的格子需要從左邊/上邊的格子讀取上一個狀態，並將這兩個狀態相加，得到最右下角的路徑數。

關係式是 dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]

class Solution {
    public int uniquePaths(int m, int n) {
        int dp[][] = new int[m][n];
        for(int i = 0; i<n; i++){
            dp[0][i] = 1;
        }
        for(int i = 0; i<m; i++){
            dp[i][0] = 1;
        }
        for(int i = 1; i<m; i++){
            for(int j = 1; j<n; j++){
                dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1];
            }
        }
        return dp[m-1][n-1];
    }
}複製程式碼

優化

根據上一行的數值及第一列的數值（恆為1）計算第二行（下圖）

計算過程（下圖*3）

可以觀察到，第i行j列的資料生成之後，第i-1行j列的資料就可以不用儲存了。即滿足關係式dp[i] = dp[i-1] + dp[i]。照此推理過程不難推出最後一行的情況（下圖）

右下角即為所求。

class Solution {
    public int uniquePaths(int m, int n) {
        int dp[] = new int[n];
        for(int i = 0; i<m; i++){
            dp[0] = 1;
            for(int j = 1; j<n; j++){
                dp[j] = dp[j-1] + dp[j];
            }
        }
        return dp[n-1];
    }
}複製程式碼

數學優化（來自LeetCode題目評論區）

class Solution(object):
    def uniquePaths(self, m, n):
        """
        :type m: int
        :type n: int
        :rtype: int
        """
        return math.factorial(m+n-2)/math.factorial(m-1)/math.factorial(n-1)複製程式碼

使用數學組合方法進行計算，空間複雜度O(1)。