Vizing 定理
定義
考慮如下的問題：對一個無向圖的邊進行著色，要求相鄰的邊染不同種顏色。問
需要的最少的顏色數是多少。
解決上述問題需要藉助 Vizing 定理（又稱維金定理）。
在開始之前，我們先進行一些符號的規定。
- \(\Delta(G)\)：無向圖 \(G=(V,E)\) 的最大度數，即 \(\Delta(G)=\max_{i\in V}\deg i\)；
- \(\chi(G)\)：若無向圖 \(G\) 是 \(k\) - 邊可著色的，但不是 \((k-1)\) - 邊可著色的，則稱 \(\chi(G)\) 為 \(G\) 的邊色數，記為 \(\chi(G)\)。
Vizing 定理的內容如下：
- 對於簡單無向圖 \(G\)，有 \(\Delta(G)\le\chi(G)\le\Delta(G)+1\)；
- 特別地，對於二分圖 \(G\)，有 \(\Delta(G)=\chi(G)\)。
我們今天僅討論後者的情況，即二分圖的邊著色。
證明
二分圖上的 Vizing 定理為什麼是正確的？
首先，必要性是顯然的——不可能用比某個點的度數還少的顏
色數完成著色。
至於充分性，使用構造性證明。考慮執行如下演算法：
對於二分圖 \(G=(V,E)\)，按順序在二分圖中加邊。
加入一條邊 \((u,v)\) 時，嘗試尋找對於 \(u\) 和 \(v\) 的編號最小且未使用過的顏色（你可以理解為 \(\mathrm{mex}\)），設為 \(A\) 和 \(B\)。
如果 \(A=B\)，那麼直接將這條邊染上 \(A\)。
否則令 \(A<B\)，嘗試將連線 \(v\) 的顏色為 \(A\) 的邊的顏色強制改為 \(B\)。
這樣可能還會產生矛盾，假設這條邊連線的另一個結點（設為 \(w\)）上產生了矛盾，就把連線 \(w\) 的顏色為 \(B\) 的邊的顏色再強制改為 \(A\)……
我們發現這是一個不斷尋找增廣路並對路徑上的邊交替染色的過程。
由於二分圖不存在奇環，所以結點 \(u\) 不可能在增廣路上，否則會與“最小未使用顏色為 \(A\)”矛盾。
時間複雜度 \(O(nm)\)，其中 \(n=|V|\)，\(m=|E|\)。
模板題 CF600F
題意簡述
構造出一組二分圖邊著色方案使得使用的顏色數最少。
資料範圍：\(1\le n_1,n_2\le 1000\)，\(1\le m\le 10^5\)
題目資訊
來源：Codeforces
難度：\(\color{Red}\texttt{*2800}\)
正解
解法：完完全全的模板。實現時可以將其封裝成一個類。
參考程式碼（C++17）：
Submission #247875843 - Codeforces
[SNOI2024] 拉丁方
題意簡述
定義一個 \(n \times n\) 的矩陣 \(A\) 為拉丁方，當且僅當每行每列都是一個 \(1 \sim n\) 的排列。
給定一個矩陣 \(A\) 左上角的一個 \(R \times C\) 的子矩陣，也就是 \(A_{i, j}\)（\(1 \le i \le R\)，\(1 \le j \le C\)）。問能不能將剩下的位置填上數使得它是一個拉丁方。如果可以，構造出任意一組合法方案。
資料範圍：多測，\(1\le T\le 5\)，\(1\le R,C\le n\le 500\)，輸入的子矩陣不存在一行或者一列有兩個相同的數。
題目資訊
來源：陝西省 NOI 省隊選拔賽 2024 D1T3
難度：\(\color{Darkblue}\texttt{NOI/NOI+/CTSC}\)
特殊性質 B：\(C=n\)。
解法：從特殊性質 B 出發，可以觀察到在這種情況下每一列要填哪些值都知道了，但是不知道每個值要填在哪一行。
於是考慮建出二分圖，由未使用的值向列連邊；因為要求同一行不能有相同的值，所以直接跑二分圖邊染色。
最終每條邊的顏色即為該值在該列的行數。
可以證明這種情況下一定有解：此時對於每種顏色所有邊構成了一組完美匹配。
正解
那麼如何將上述做法擴充套件到 \(C\) 任意的情況？
考慮把原矩陣“補”成一個 \(C=n\) 的矩陣（就是把右上角那一塊填上）再運用上述演算法。仍然使用上面的做法，這次由值向行連邊，然後每條邊的顏色就是其所在的列。注意如果使用的顏色數 \(p\ne n-C\)（此時有點度數大於 \(n-C\)）那麼無解。
溫馨提示：這題時限 5s，如果你還卡不過去，那麼請把 int 換成 short。
參考程式碼（C++17）：
提交記錄 #335745 - QOJ.ac
練習題 & 總結
Vizing 定理算是一個比較冷門的知識點，直到 SNOI2024 它才逐漸變得廣為人知。該型別的練習題較少，這裡有兩道可供參考：
- UVa10615 Rooks
- AtCoder AGC037D Sorting a Grid
參考資料：
- 圖的著色 - OI Wiki
- 本人題解：[SNOI2024] 拉丁方 題解 by \(\color{Red}\mathrm{FFTotoro}\)