JZOJ5787 軌道

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題目大意

給出 \(n\)，\(m\)。

需要構造一個長度為 \(n\) 的正整數序列 \(A\)，其中 \(A_i \in [1,m]\)。

給出一個正整數 \(K\)。你的序列需要使的存在一個正整數 \(V\)，使得 \(V \cdot K = \prod A_i\) 且 \(V\) 與 \(K\) 互質。

求出構造方案數。

其中 \(n \leq 30001, m \leq 10^9, K \leq 10^7\)。

解題思路

考慮 DP 設 \(dp(i,j)\) 表示構造到 \(i\) 位，使得 \(\prod A_i = j\) 的方案數。

這樣顯然開不下，但是發現其實我們只關心 \(\gcd(j,K)\)。

顯然 \(\gcd(j,K)\) 是 \(K\) 的因數，我們將因數全部預處理出來，從小到大排列，記為數列 \(a\)，這不會太多，數量 \(at \leq 1000\)。

同時記 \(mp(i)\) 表示 \(i\) 在 \(K\) 的因數中的排名。

所以我們將 \(dp(i,j)\) 含義改成：構造到 \(i\) 位，使得 \(\gcd(\prod A_i,K) = a[j]\) 的方案數。

那麼我們可以推出狀態轉移方程：

\[dp(i,j) = \sum_{a(k)|a(j)} dp(i-1,k) \cdot dp(1,mp(\tfrac{a(j)}{a(k)})) \]

考慮如何實現轉移，我們可以預處理出 \(a(j)\) 的所有因數，這將耗費 \(O(at^2) \leq 10^6\) 的時間。

經過預處理，轉移的總時間消耗為 \(O(n\sum \sigma_0(a(i))) \leq 2*10^4 n \leq 6*10^8\)，實際上這個數字會更加的小，其中 \(\sigma_0\) 表示因數個數。

我們解決了轉移問題，接下來考慮如何求出 \(dp(1,j)\)。

考慮其含義，即數 \(x \in [1,m]\) 使得 \(\gcd(x,K) = a(j)\) 並且 \(\gcd(\frac{x}{a(j)},K) = 1\) 的個數。

直接列舉不可行，考慮進行一步轉化，第二個條件等價於：

\[\gcd(\frac{x}{a(j)},\frac{K}{a(j)}) = 1 \]

第三個條件可以推出條件二，故關鍵在於條件三。

\[\gcd(\frac{x}{a(j)},K) = 1 \]

令 \(y \in [1,\dfrac{m}{a(j)}]\)。

即求 \(y\) 與 \(K\) 互質的個數，使用容斥原理。

即\(1\) 的倍數，減去 \(2\) 的倍數，減去 \(3\) 的倍數，加上 \(6\) 的倍數等等，的小學問題。

更具體的其容斥係數即為莫比烏斯函式 \(\mu\)，不難理解。

更嚴謹的，使用莫比烏斯反演：

\[f(i) = \sum_{j}^{N} [\gcd(j,K)=i] \\ F(i) = \sum_{i|j} f(j) = \sum_{j}^{N} [i|\gcd(j,K)] = \lfloor \frac{N}{i} \rfloor \]

其中要求 \(i|K\)。

根據莫比烏斯反演，所求 \(f(1)\) 即為：

\[f(1) = \sum_{i|K} \mu(i) F(i) \]

線性篩出莫比烏斯函式 \(O(K) \leq 10^7\)，預處理 \(O(at^2) \leq 10^6\)。

至此，我們解決了這個問題。

參考程式碼