【好書推薦】《劍指Offer》之硬技能（程式設計題12~16）

OKevin發表於2019-06-21

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12.矩陣中的路徑

題目：請設計一個函式，用來判斷一個矩陣中是否存在一條包含其字串所有字元的路徑。路徑可以從矩陣中的任意一格開始，每一步可以在矩陣中向左、右、上、下移動一格。如果一條路徑經過了矩陣的某一格，那麼該路徑不能再次進入該格子。

*回溯法：適合由多個步驟組成的問題，並且每個步驟有多個選項。

 1 /**
 2 * 矩陣中是否存在給定路徑
 3 * @author OKevin
 4 * @date 2019/6/4
 5 **/
 6 public class Solution {
 7 
 8    /**
 9     *
10     * @param matrix 一位陣列表示矩陣
11     * @param rows 行數
12     * @param cols 列數
13     * @param path 路徑
14     * @return true-存在；false-不存在
15     */
16    public boolean findPath(char[] matrix, Integer rows, Integer cols, char[] path) {
17        if (matrix == null || rows <= 0 || cols <= 0 || path == null) {
18            return false;
19        }
20        boolean[] visited = new boolean[rows * cols];
21        int pathLength = 0;
22        for (int row = 0; row < rows; row++) {
23            for (int col = 0; col < cols; col++) {
24                if (findPathCore(matrix, rows, cols, row, col, path, pathLength, visited)) {
25                    return true;
26                }
27            }
28        }
29        return false;
30    }
31 
32    private boolean findPathCore(char[] matrix, Integer rows, Integer cols, int row, int col, char[] path, int pathLength, boolean[] visited) {
33        if (pathLength == path.length) {
34            return true;
35        }
36        if (row >= 0 && row < rows && col >= 0 && col < cols && matrix[row * cols + col] == path[pathLength] && !visited[row * cols + col]) {
37            visited[row * cols + col] = true;
38            pathLength++;
39            if (findPathCore(matrix, rows, cols, row, col - 1, path, pathLength, visited)
40                    || findPathCore(matrix, rows, cols, row - 1, col, path, pathLength, visited)
41                    || findPathCore(matrix, rows, cols, row, col + 1, path, pathLength, visited)
42                    || findPathCore(matrix, rows, cols, row + 1, col, path, pathLength, visited)) {
43                return true;
44            }
45            visited[row * cols + col] = false;
46 
47        }
48        return false;
49    }
50 }

13.機器人的運動範圍

題目：地上有一個m行n列的小方格，一個機器人從座標（0，0）的格子開始移動，它每次可以向上、下、左、右移動一格，但不能進入行座標和列座標的數位之和大於k的格子。例如：當k=18，機器人能夠進入方格（35，37），因為3+5+3+7=18，但不能進入（35，38），因為3+5+3+8=19。請問k=18時，機器人能夠到達多少個格子。

此題有一個小的點需要靠平時的積累，數位和的計算。

 1 /**
 2 * 計算數位和
 3 * 例如：85的數位和為8+5=13
 4 * 計算過程：
 5 * 85 % 10 = 5（個位）
 6 * 85 / 10 = 8（移除個位）
 7 * 8 % 10 = 8（十位）
 8 * 5 + 8 = 13
 9 * @param number 數字
10 * @return 數位和
11 */
12 private int getDigitSum(int number) {
13    int sum = 0;
14    while (number > 0) {
15        sum += number % 10;
16        number /= 10;
17    }
18    return sum;
19 }

另外還需要注意幾個臨界條件：

訪問的行和列一定是大於等於0；
訪問的行和列一定是小於總行數和總列數（並不是小於等於，因為是從第0行開始）
行和列的數位和小於閾值
沒有被訪問過

row >= 0 && row < rows && col >= 0 && col < cols && (getDigitSum(row) + getDigitSum(col) < threshold) && !visited[row * cols + col]

題目中看似提到了m行n列，立馬想到了用二維數字來表示。實際上如果用二維陣列是增加了複雜性，用一維陣列同樣能表示出二維陣列。例如：m行n列就一共又m*n個元素，visited[m*n]。訪問第1行第1列，在一維陣列中則為visited[1*m+1]，訪問第1行第2列則為visited[1*m+2]，也就是在一位陣列中，資料是按照一列一列存放的。如果要訪問第2行是2*cols+第幾列。

另外既然需要求出達到多少個格子，則是需要訪問格子周圍即：(i - 1, j)、(i, j - 1)、(i + 1, j)、(i, j + 1)。

 1 /**
 2 * Description:
 3 * 機器人的運動範圍
 4 * 2019-06-18
 5 * Created with OKevin.
 6 */
 7 public class Solution {
 8    public int movingCount(int threshold, int rows, int cols) {
 9        if (threshold < 0 || rows <= 0 || cols <= 0) {
10            return 0;
11        }
12        boolean[] visited = new boolean[rows * cols];
13        int count = movingCountCore(threshold, rows, cols, 0, 0, visited);
14        return count;
15    }
16 
17    private int movingCountCore(int threshold, int rows, int cols, int row, int col, boolean[] visited) {
18        int count = 0;
19        if (check(threshold, rows, cols, row, col, visited)) {
20            visited[row * cols + col] = true;
21            /**
22             * 當前訪問到了(i, j)座標，此時則繼續訪問(i - 1, j)、(i, j - 1)、(i + 1, j)、(i, j + 1)
23             */
24            count = 1 + movingCountCore(threshold, rows, cols, row - 1, col, visited) + movingCountCore(threshold, rows, cols, row, col-1, visited) + movingCountCore(threshold, rows, cols, row + 1, col, visited) + movingCountCore(threshold, rows, cols, row + 1, col, visited);
25        }
26        return count;
27    }
28 
29    private boolean check(int threshold, int rows, int cols, int row, int col, boolean[] visited) {
30        //橫座標與縱座標的數位和相加小於閾值，且沒有訪問過
31        if (row >= 0 && row < rows && col >= 0 && col < cols && (getDigitSum(row) + getDigitSum(col) <= threshold) && !visited[row * cols + col]) {
32            return true;
33        }
34        return false;
35    }
36 
37    /**
38     * 計算數位和
39     * 例如：85的數位和為8+5=13
40     * 計算過程：
41     * 85 % 10 = 5（個位）
42     * 85 / 10 = 8（移除個位）
43     * 8 % 10 = 8（十位）
44     * 5 + 8 = 13
45     * @param number 數字
46     * @return 數位和
47     */
48    private int getDigitSum(int number) {
49        int sum = 0;
50        while (number > 0) {
51            sum += number % 10;
52            number /= 10;
53        }
54 
55        return sum;
56    }
57 }

14.剪繩子

題目：一段長度為n的繩子，請把繩子剪成m段（m、n都是整數，n>1且m>1），每段繩子的長度為k[0]、k[1]、……、k[m]。請問k[0]*k[1]*……*k[m]可能的最大乘積是多少？例如，當繩子的長度為8時，我們把它剪成長度分別為2，3，3的三段，此時的最大乘積是18。

這道題是求解最優化問題。理論上講，在題目中出現最大、最小、一共有多少種解法都可以用動態規劃求解。

解法一：動態規劃

拿到這道題，習慣性的可能會先從由上往下的解題思路去想，比如：長度為9，可以分為幾段：1，1，7；1，2，6等等。會去思考這個長度會分成幾個段，再將每個段的乘積求出來，取最大的那個段。

但實際上，對於求解最優化問題，可以轉換為一系列子問題。對於本題一段繩子來講，它無論如何都至少被切為2段。例如長度為8時，可能被切為：1,7；2,6；3,5；4,4。當然還有5,3，這實際上又和前面重複了，所以一段繩子如果被切為2段，就只有n/2種可能性。

切為2段並不是最終的最大乘積長度，例如8切為了以上4種可能性的兩段，並不意味著8的切成m段的最大乘積長度為15（3*5）。它當然還能切為2*3*3=18。那為什麼說只需要切為2段呢？

這是因為我們需要把這個問題不斷地劃分為小的問題。

例如8被切為了1和7，這兩段不能再繼續切分，它就是最小的問題；同理，8被切為了2和6，但是6仍然可以繼續被切為1和5，2和4，3和3，所以2和6並不是最小的問題，以此類推，最終推出長度為6的繩子切成m段的最大乘積是9（3*3），那麼8被切為2和6時，2*9就等於18。同理繼續推3和5，4和4。

上面的分析得出了什麼樣的結論呢？結論就是，只需要想象成2段，再各自繼續切2段。也就是說假設長度為n的繩子，f(n)是它的各段最大乘積長度，它在被切第一刀時，第一段長度為（1,2,...n-1），第二段的長度為(n-1,n-2,...,1)。推出f(n)=max(f(i)*f(n-1))的關聯關係。這裡一定需要好好理解，切成2段後，並不是直接將兩段相乘，而是再繼續將各段切分直至不能再切且取最大乘積長度。

在《演算法筆記》（刁瑞謝妍著）一書中對動態規劃做了求解步驟的總結：

定義子問題
定義狀態轉換規則，即遞推關係
定義初始狀態

套用到這套題上，我認為就是需要明確以下3點：

該問題的核心在於求出每段的最大乘積長度，這是子問題，也就是上文所述，再被切為兩段時，需要明確是否能繼續切直至不能再切且取最大乘積長度。
遞推關係，也已明確(n)=max(f(i)*f(n-1))
初始狀態，長度為1不能切，長度為2最長為1，長度為3最長為2。

 1 /**
 2 * Description:
 3 * 剪繩子——動態規劃
 4 * 2019-06-19
 5 * Created with OKevin.
 6 */
 7 public class Solution1 {
 8 
 9    public int maxProductAfterCutting(int length) {
10        if (length < 2) {
11            return 0;
12        }
13        if (length == 2) {
14            return 1;
15        }
16        if (length == 3) {
17            return 2;
18        }
19        int[] products = new int[length + 1];   //陣列中儲存的是每段的最優解
20        //大於長度3的繩子，當然可以劃分出1,2,3長度的繩子
21        products[0] = 0;
22        products[1] = 1;
23        products[2] = 2;
24        products[3] = 3;
25        int max = 0;
26        for (int i = 4; i <= length; i++) {
27            max = 0;
28            for (int j = 1; j <= i / 2; j++) {  //除以2的原因在上文中也以提到，將一段繩子劃分為2段時，實際上中間後的切分和前面是重複的
29                int product = products[j] * products[i - j];    //遞推關係f(i)*f(n-1)
30                if (max < product) {
31                    max = product;
32                }
33                products[i] = max;
34            }
35        }
36        max = products[length];
37        return max;
38    }
39 }

優點：動態規劃類似於分治演算法，將大的問題逐步劃分為小的問題求解。

缺點：此題採用動態規劃的時間複雜度為O(n^2)，且空間複雜度為O(n)

解法二：貪婪演算法

貪婪演算法的核心是，先挑最大的，再挑比較大的，再挑小的（貪婪嘛）。

本題對於長度為n（n>=5）的繩子應儘量多劃分為長度3的段。對於長度為4的段，應劃分為長度為2的段。

也即是，如果長度為10，那麼10/3=3個長度為3的段，劃分結果為3*3*3*1，最後一個段為1，劃分為3*3*4。

 1 /**
 2 * Description:
 3 * 剪繩子——貪婪演算法
 4 * 2019-06-20
 5 * Created with OKevin.
 6 */
 7 public class Solution2 {
 8    public int maxProductAfterCutting(int length) {
 9        if (length < 2) {
10            return 0;
11        }
12        if (length == 2) {
13            return 1;
14        }
15        if (length == 3) {
16            return 2;
17        }
18        int timesOf3 = length / 3;
19        if (length - timesOf3 * 3 == 1) {
20            timesOf3 -= 1;
21        }
22        int timesOf2 = (length - timesOf3*3) / 2;
23        return (int) (Math.pow(3, timesOf3) * Math.pow(2, timesOf2));
24    }
25 }

15.二進位制中1的個數

題目：請實現一個函式，輸入一個整數，輸出該數二進位制表示中1的個數。例如，把9表示成二進位制是1001，有2位是1。因此，如果輸入9，則該函式輸出2。

此題可採用移位運算+與運算求解

 1 /**
 2 * Description:
 3 * 移位運算+與運算
 4 * 2019-06-20
 5 * Created with OKevin.
 6 */
 7 public class Solution {
 8    public int NumberOf1(int num) {
 9        int count = 0;
10        while (num != 0) {
11            if ((num & 1) == 1) {
12                count++;
13            }
14            num = num >>> 1;    //因為運算>>>表示無符號右移，意味著如果是負數，仍然會向右移，同時用0補齊。如果使用>>有符號右移，那麼符號位1永遠會存在，也就是會產生死迴圈
15        }
16        return count;
17    }
18 }

16.數值的整數次方

題目：實現函式Math.pow，求m的n次方。

迴圈暴力法

 1 /**
 2 * Description:
 3 * 迴圈暴力法
 4 * 2019-06-20
 5 * Created with OKevin.
 6 */
 7 public class Solution1 {
 8    public int pow(int m, int n) {
 9        int result = 1;
10        for (int i = 0; i < n; i++) {
11            result *= m;
12        }
13        return result;
14    }
15 }

很遺憾，這種解法連校招級都算不上，頂多算是剛學習程式設計時的水平。

其實這道題，並沒有考查過多的演算法，更多的是考查對細節的把握。一個數的整數次方，不光是整數，還有可能是負數，也有可能是0。如果數值為0，則0的冪是沒有意義的。

 1 /**
 2 * Description:
 3 * 考慮指數為0，負數，整數；數值為0的情況;0^0在數學上沒有意義
 4 * 2019-06-21
 5 * Created with OKevin.
 6 */
 7 public class Solution2 {
 8 
 9    public double pow(int m, int n) {
10        double result = 0;
11        if (m == 0 && n < 0) {
12            return -1;
13        }
14        int absN = Math.abs(n);    //取絕對值
15        result = calc(m, absN);
16        if (n < 0) {
17            result = 1 / result;
18        }
19        return result;
20    }
21 
22    private int calc(int m, int n) {
23        int result = 1;
24        for (int i = 0; i < n; i++) {
25            result *= m;
26        }
27        return result;
28    }
29 }

改進後的程式碼考慮到了指數是負數的情況。但實際上這仍然有優化的空間。如果指數是32，意味著calc方法需要迴圈31次。然而實際上迴圈到一半的時候就可以求它本身。也就是說a^n/2 * a^n/2，n為偶數；a^(n-1)/2 * a^(n-1)/2 * a，n為奇數。

改進後的calc方法：

 1 private int calc(int m, int n) {
 2    if (n == 0) {
 3        return 1;
 4    }
 5    if (n == 1) {
 6        return m;
 7    }
 8    int result = calc(m, n >> 1);    //右移1位表示除以2
 9    result *= result;
10    if ((m & 1) == 1) {     //位運算判斷是會否為奇數，奇數的二進位制第一位一定是1與1做與運算即可判斷是否為奇數，代替m%2是否等於0
11        result *= m;
12    }
13    return result;
14 }

本文例子完整原始碼地址：https://github.com/yu-linfeng/BlogRepositories/tree/master/repositories/sword

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