1考研數學策略

1.1考研數學的特點

　　相對於英語和政治而言，考研數學的最有意義的特點是：時間花在數學上最划算。這首先是因為英語政治各100分而數學卻要佔到150分之多。覺得“150分比100分也只多50分而已”的想法是很搞笑的，因為好像150分比“英語政治兩門的總分200分”也只差了50分啊，所以數學實在是很有意義的一門科目。

　　在總分中佔比重大隻是形成複習數學“利潤率高”的條件之一，更重要的原因要通過分析各科分數分佈圖來發現（這些分數分佈直方圖可以在教育部考試中心出的各科考試分析中找到）。由這些圖可以清晰地看出：數學最能拉開分。

　　從試卷編制的指標角度來看，數學真題的分數分佈曲線堪稱完美：在數學真題的分數分佈直方圖上，代表各分數段的矩形基本可以連成平滑的正態曲線，而且“坡度”不大、差距明顯；說明這些試卷的整體區分度較大，能夠拉開分數差距、有效區分不同水平的考生。有這樣的分數分佈應該是各科出題老師都夢寐以求的事情，但幸好並不容易實現。

　　教育部考試中心《數學考試分析》是這樣詮釋考試大綱對試卷的要求的："研究生入學考試為實現其選拔功能，試卷必須對不同水平的考生具有良好的區分能力，使考生分數的分佈有利於從高分到低分"拉開距離"，特別是要拉開每年的前30%-40%可能被錄取的考生分數的距離。根據教育測量學原理，大規模考試的試卷難度在0.5左右最為理想，可以使考生成績成正態分佈，標準差比較大，各分數的考生人數分佈比較合理，對考生總體的區分功能最強"。

　　考研試題的出題老師水平都很高，政治出題專家的水平突出體現在多項選擇題上，既能保持高難度又能保持高區分度——這並不比左手畫方、右手畫圓容易；但由於大題得分大家都差不多，而多選題能做好的人也很有限，所以政治分數還是相對集中；而數學出題專家的水平則突出體現在對題目難度的把握上。換位思考一下就能體會到：這些出題老師怎麼能知道我們在做他們出的題時一般能夠做到哪一步、會有多少人作對、多少人做錯呢？這肯定是一件頗有門道的事情。

　　由這樣的分數分佈直方圖和"整卷難度0.5左右"可見，花時間提高自己的數學水平是最為可取的想法之一，因為首先數學提分的餘地很大，從平均分六七十分一直到120、130多分都有可能；與之相比，英語政治兩門的高低分之間大概只能拉開20分左右的分數，而數學成績高低分差別40、50多分的情況則比比皆是。

　　同時，從分數分佈直方圖上70~135分各矩形基本構成平滑曲線這一現象中，也可以推斷出數學分數各檔次的提升難度基本相當，取得進步的過程會比較穩定，也就是說"多花時間在數學上"的策略可以適用於水平不同的考生。

　　綜上所述，對考研數學特點的分析應該對我們的大複習策略產生一些影響，可以通過綜合考慮自己各科的初始水平、當前可支配時間數量、預計時間富餘量等因素來大致制定一下各科的時間分配比例，儘量在保證不偏科"絆線"的前提下多花時間在容易提分的方面上，這樣的部分可以是一門課，比如數學，也可能是某門課中的某些具體方面，比如政治多選題和英語中的作文。

1.2數學複習思路

　　數學複習的思想策略應該由這門課自身的特點來決定。用前面提到的知識點網格觀點分析，考研數學需要掌握的知識點並不多，但相互之間聯絡複雜、千絲萬縷，點到點的邏輯關係和深層次的框架結構難於理清；如果像備考政治那樣做分章節的總結，做出來的東西也只能是形同提綱一樣的泛泛之談，達不到實際做題時需要具備的的深度。

　　這樣的不同其實就是理科與文科的不同，對於考研政治的複習，我認為各章的總結是最後必不可少的資料之一，因為這樣做可以把知識點系統化以更好把握，對提升水平至關重要；而對於考研數學的複習，我有一個經驗就是有個思想必須放在總結前面，那就是“做題”。

　　理科的知識點需要通過足夠的練習才能真正理解，其中的原因不容易說清楚，但是很容易就能體會到。僅僅通過看課本、聽老師講課來學數學很困難，但是課本上那些艱澀的概念往往在做幾個習題以後就能理解，老師傳授的解題技巧也只有在做題中才能透徹領悟——大家應該都有類似的學習經歷；

　　再用前面提到的“把一門學科拆分成理解層和記憶層”的觀點來分析，數學這門學科在進入記憶層之前必需要先經過理解層，而且渡過理解層的難度遠遠大於渡過理解層之後再渡過記憶層的難度；所以數學學習過程中的的關鍵環節是設法實現理解。而做足夠數量的習題正是實現對知識點及知識點之間的聯絡深刻理解、熟練掌握的主要途徑。

　　所以數學複習的思路應該為繞“做題”這個思想來展開，在做題中深入理解知識點及其相互聯絡，通過有效練習來理解知識點並達到熟練運用的程度。同時可以把做題時對相應知識點的理解記下來，這樣形成的東西其實就是數學意義上的“總結”，不是分章節討論，而是對於某個具體知識點就事論事。

　　在下面對數學各部分的每章討論中，我寫的是自己在做題過程中的積累，包括每章知識結構特點、知識點相互聯絡、與前後章節知識點的內在聯絡、相關題目的特點分析、對複習方法的一些建議及對一些零散複習成果的歸納；然後是對一些歷年真題的評析，這方面我的水平當然很有限了，主要目的是結合具體的題目來更好地講出自己對題目考查知識點的理解。

　　也就是說，如果必須用一個詞來概括數學複習思想的話，我認為非“做題”二字莫屬；我將我的一些做題經驗以“直接論述”和“借題發揮”兩種形式寫了出來，放在數學複習策略之後的主體部分中，希望對你有所幫助。

1.3考研數學參考書的選擇

　　大多數同學備考數學時會選用以下幾種參考書：高數、線代、概率各科課本；一本講義和習題兼備的複習全書；一本歷年真題集；一本最後衝刺套題；一本考試大綱。其中我認為最應該重視的是三本書：大綱、複習全書和歷年真題集。

　　以下先討論數學考試大綱和歷年真題集：

　　考研政治考試大綱一般都是人手一本，而數學考試大綱卻容易被忽視——這是一種本末倒置的現象。在考研政治複習中，政治大綱起的作用實際上並不大，因為雖然大綱的幾十頁內容可以視為是一本複習全書的精華，但僅僅掌握這幾十頁內容還是遠遠不夠的；同時，對於需要理解的知識點，大綱上缺少足夠的討論以輔助理解；對於需要記憶的知識點，大綱上列舉的內容又往往太少。也有同學把政治大綱作為“每章總結”放在最後複習時用，但是，教育部考試中心編制大綱時考慮的是要達到規範性、完善性、準確性等技術指標，離每章總結需要具備的實用性要求相距甚遠，遠不如自己動手做出來的總結的好用。

　　相比之下，數學大綱經常得不到應有的重視，這大概是因為其只有區區幾頁、而且語言風格極其簡練的原因。但是，這幾頁上的每一句話、每一個詞後面可都隱藏著晦澀難懂的定義和令人撓頭的習題；看起來簡簡單單的一兩個字中就能推敲出重要的複習資訊。

　　比如每個知識點前面標出的“瞭解”、“理解”和“掌握”，決定了對該知識點應該掌握到什麼深度，這正是在確定無疑地“劃重點”。相反在政治大綱裡可找不到這樣的字眼，所以複習政治時從任何渠道得到的劃定重點的資訊其實都沒有數學考試大綱中的這幾個詞可靠；

　　另外，雖然現在的複習參考書都是按照大綱編寫的，但認真對照還能發現不少問題。比如在《陳文燈數學複習指南》上就能找出大綱上沒有的知識點和大綱上有卻在書上找不到的知識點；而且其中對於一些大綱標明為“瞭解”層次的知識點明顯討論的太細、太多；對於一些大綱標明為“掌握”或“理解”層次的知識點卻處理的太單薄了。這些存在問題的地方加起來佔了相當數量，所以說如果在埋頭做題的同時不忘緊抓大綱，既可以節省下可能被用來做無用功的大量時間，又可以真正做到“全面、有重點的複習”。

　　所以，數學考試大綱不僅僅是考試出題的大綱，也有理由成為我們複習的大綱，真正起到提綱挈領的作用。在複習到一定程度時，我們就可以依次瀏覽大綱的知識點，檢查自己各知識點的掌握程度是否達到了考試的要求，有沒有軟肋和遺漏點，這樣查漏補缺效果很好。

　　與選擇一本複習指導書相比，選擇一本歷年真題集要容易得多。因為從內容上講這些真題集都大同小異，關鍵的問題是我們是否能充分認識歷年真題的重要性和怎樣利用歷年真題。

　　對考研各科來說，歷年真題都是最好的參考資料。數學歷年真題的主要優點在於：

1. 從題目的“好壞”來說，歷年真題的質量最高。這些題目都是經過出題專家反覆錘鍊的好題，認認真真地做一套歷年真題對提高水平效果顯著，遠勝於一般習題；

 2. 歷年真題前後具有傳承性，出題形式、解題思路、熱門考點中多多少少都有規律可循；即使不去摸索規律，熟做歷年真題後形成的“題感”也是很有用的東西，因為歷年真題的風格基本穩定，這樣形成的題感會令我們對考題有種似曾相識的感覺，當身臨其境進行考試時常常起到出人意料的作用；

3. 平時做的分章習題存在一個大問題就在於“就事論事”，常常是一道大題裡的幾個小題都練習某一個知識點，不主動涉及其它知識點；但考研真題的出題專家很少用這種單純的形式出題，就算是一個填空題或選擇題也常常要同時涉及幾個知識點，因為這樣做既擴大了考察的知識面，又可以避免落入套路當中，還可供揮灑自如地靈活出題；這樣就造成了“練習題”與“考試題”的區別。

　　另外，歷年真題也是檢測自己水平的重要資料。採用自己估計、與人交流和做模擬題等方法都不夠準確，在這個問題上最權威的檢測機構正是“教育部考試中心”，最權威的檢測工具就是“歷年真題”，最可靠的檢測方法是“抽出三小時連續時間，不借助任何輔助參考書，完全模擬考場真實情況，自己做一套歷年真題（這套題你以前應該從未接觸過），然後根據完整答案以儘量鐵面無私的態度和壯士斷腕的決心來給自己打分”，這樣才能瞭解到自己的真實水平。

　　以上這些方面的特徵都是其他考研資料所不具備的，但在歷年真題中卻很突出，所以重視歷年真題非常有必要。

　　錯誤的態度會導致人採用錯誤的策略，如果不重視歷年真題就可能出現不充分利用或濫用歷年真題的情況。

　　有的同學優先選擇做市場上的衝刺、押題套題，對於真題只是草草做一做，這樣做是浪費。因為這些模擬試卷的質量普遍不高，用來湊數的偏題怪題頻頻出現；有的索性將往年真題中的題目略加修改後加上。因為質量不如真題，所以這些試卷不能被賦予高於真題的優先權；

　　還有同學有隻看不做的習慣，但實際上想要透徹理解題目必須自己動手去做，否則犯眼高手低的錯誤是必然的；也有同學認識到了真題的重要性但卻過於謹慎，輕易不做真題，到最後關頭突擊做完，沒有充分消化，效果也很有限，我認為在基本全面複習過以後就可以開始逐套做歷年真題了，因為這既是提升水平的有效途徑，也是檢測學習效果的最佳方法。

1.4 評《陳文燈數學複習指南》

　　數學大綱雖然重要，但複習數學時的大部分時間還是會被花在我們手中那本數學複習全書上，所以選用哪一本參考書肯定是個值得討論的問題。可供選擇的有教育部考試中心編制的《研究生入學考試數學參考書》和各種複習指南之類的參考書；因為當時我只做過《陳文燈數學複習指南》，所以沒有資格去評判各本書的優劣，在此只能說一說我對這本複習指南的認識：

　　這本書最重要的優點包括：1. 分題型討論各個知識點的結構簡單高效；2. 以一些表格為代表的總結歸納很方便我們進行復習；這本書的主要缺點在於太重技巧了。以下分別討論：

　　用分題型討論作為整書框架對於一些章節來說非常有效，比如高數第三章《不定積分》對不定積分的分類討論非常仔細、全面，可以肯定，按照這樣分法考研真題中的積分題不可能超出這些範圍。

　　比如第二節講“湊微分法、第二換元積分法、分部積分法”三種積分方法，對於每種方法都分為幾種小題型；第二換元積分法講了“三角函式代換、倒代換和指數代換”三種型別、分部積分法講了四種型別；並且各部分的例題也是按不同型別組織的；後面的3.3節也分成了“有理函式積分、簡單無理函式積分、三角有理式的積分、含有反三角函式的不定積分、抽象函式的不定積分、分段函式的不定積分”六種情況來討論。

　　整本複習指南“分題型討論”思想的優越性在高數第三、四章對不定積分和定積分的討論上體現的最典型，這樣的討論實質上就是對所有可能出現的情況作了一個“完全列舉”，是一種窮舉搜尋策略。但這種策略存在的最大問題在於：很明顯，對於一些結構簡單的問題有可能窮舉所有可能的出題情況，而對於考研數學其餘大部分更為複雜的問題來說，這樣的應對策略卻常常是蒼白無力的。更麻煩的是，數學題目的顯著特點就是喜歡在知識點的相互聯絡上做文章，頻繁地把知識點結合起來出題；比如考研數學真題中的大題每題都要涉及多方面的知識；所以在高數的其它章節中，分題型討論的作用就比較有限，對於線代、概率中的某些章節來說，作用就更不理想了。所以說，這本複習指南“套題型講方法”的特色有它的優點，但只是在討論簡單知識點時才能發揮出來。

　　這本書的其它優點包括：

　　一些知識被總結成表格形式，如高數第六章《全微分方程》、第九章第二節《平面與直線》等，這種做法節省了我們自己動手總結的時間；

　　對於一些“格式化”的做題步驟進行了詳細描述，如第六章第三節《可降階的微分方程》中對於解方程步驟的討論；

　　各章節開始處對後面知識點的概括既準確又精煉，對於第一遍複習來說過於簡單，但對於第二遍以上的複習來說詳略恰到好處；

　　每道大題或其中的每個小題都針對一種情況討論，這樣編制習題使考點清晰可見，同時也保證了對某一具體知識點有足夠的習題量。

　　雖然“分題型講方法”的思路表面上看很合理，但在這本複習指南中卻演變成了對做題套路和技巧的盲目崇拜，這本書太重技巧了。在這本書的最前面有個《篇前篇  高數解題的四種思維定勢》講了四句話：1.在題設條件中若函式f(x)二階或二階以上可導，“不管三七二十一”，把f(x)在指定點展成泰勒公式再說；2.在題設條件或須證結論中有定積分表示式時，則“不管三七二十一”先用積分中直定理對該積分式處理一下再說；第3第4句話與之相似。

　　大家可以試著以“考試中心出題專家”的角度來讀一讀這4句話，很容易感覺到——太刺耳了。這毫無疑問是一種蔑視出題專家能力的表現，如果陳文燈老師是故意加上這四句“不管三七二十一”的話，出題老師甚至可以把這當成是一種挑釁。

　　教育部考試中心沒有自己的新聞發言人，所以出題專家們是這樣提出“嚴正抗議”的：在2004年版數學考試分析第149頁，在對2001年數學（一）第七題的分析中寫道“典型錯誤：①也許受了某些輔導書的影響，由題設f(x)的二階導數存在（連續）就寫出……這樣一來，與所證內容聯絡不起來，以下一片空白，這也說明，這些考生對拉格朗日中值定理的各種變形寫法，一無所知。”

　　《數學考試分析》是國家教育部對研究生入學考試的權威指導用書，用語嚴謹是毫無疑問的，所以在這本書中出現“也許受了某些輔導書的影響”這12個字其實很嚴重；這不但是對現在考研參考書和某些輔導專家囂張氣焰的迴應，同時也是對我們考生的一種警告。

　　從整體上說，這本複習指南都過於強調技巧，各種題型都被儘可能地格式化和套路化。這樣做在考研興起早期應該管用，但在《陳文燈複習指南》已相當普及、也有了相當影響力的現在，再用這種編書策略就太冒險了。成也蕭何、敗也蕭何，陳文燈老師應該看過近年來的考研數學真題，但未必親手做過。以我個人感受來說，考研試卷出題老師的水平在陳文燈老師之上，對數學思想的領會也更有深度，所以近年來絕大部分的題很容易就出的不落窠臼，故意避開固定套路出奇招的現象也在很多題中有所體現。

　　對於我們來說，問題不在於如何評點《陳文燈複習指南》的冒險策略，而在於這本書是拿著我們將上呈閱卷老師的答卷來冒險的，而我們考生不應該為別人的錯誤承擔責任。

　　想避開這場在權威和流行之間的爭鬥並不難——用別的參考書好了。那麼是哪一本呢？我不知道，但我認為用考試中心編的《數學考試參考書》應該是第一選擇。因為這本書內容與大綱的對應程度應該最高，出題風格也應該與真題比較接近，甚至出現類似題的概率也可能是最大的。但這些只是我的猜測，未經實踐檢驗，希望有同時作過這兩本書的同學提出一些更有參考價值的意見，然後你自己需要慎重考慮一下，參考各方面的意見後再作決定。

　　綜上所述，《陳文燈複習指南》這本書肯定有參考價值，但並不適宜作為備考的主要參考書。

　　由於對於其它參考書沒有什麼深入認識，我無法提出“最佳選書方案”，在此只提一個設想: 主要的參考書可以選用教育部考試中心出的《數學考試參考書》，做透以後再看一遍陳文燈的複習指南，主要是以“分題型”的視角重新歸納一下自己掌握的知識和方法，起到一個瀏覽、歸納的作用。

　　對其中的習題也可以抽一部分做一做以擴大練習量。但這肯定不是必需的，因為複習指南的習題中有相當部分的難度過大；而且，我個人認為難也就算了，問題是這些題的“難法”與考研真題的“難法”很不一致，常覺得題難的非常無厘頭、沒意思；“題眼”的著眼之處沒有太大意義，做起來很痛苦卻又收不到符合心理預期的效果；實在是一件“令人鬱悶”的事情。

　　以上所說僅是個人意見，未經證實，請謹慎對待。因魯莽行事造成的一切後果由使用者自身承擔(本公司保留對以上內容的最終解釋權)。Believe  yourself , All up  to  you！