指數函式和自然常數 e 的一個直觀說明

Halal發表於2015-05-07
函式

e 一直困擾著我—不是作為字母，而是作為數學常數。它究竟代表什麼呢？

數學書、甚至我所心愛的Wikipedia，都用這樣呆板的行話來描述e：

e，作為數學常數，是自然對數的底數。

而當你查詢自然對數時，你會得到：

自然對數，原名雙曲對數，是以e為底的對數，其中，e是一個無理數常數，近似於2.718281828459。

漂亮的迴圈引用，就像詞典用Byzantine定義labyrinthine一樣（譯註：Byzantine意為“錯綜複雜的”，源自“拜占庭”，與後者同義）：正確但無益。為啥不用“complicated”這樣的日常用語呢？

我不是在挑剔Wikipedia—為了追求嚴謹，許多數學解釋形式而枯燥。但是這樣對於試圖入手某個主題的新手毫無幫助（在某種意義上，我們都是新手）。

不羅嗦了！我這就對e是什麼、為什麼重要，分享下我的見解。省省吧，收起嚴謹的數學書，這有一個微視訊，概述了我的見解：

視訊：https://youtu.be/yTfHn9Aj7UM

e不僅僅是一個數字

把e描述為“一個近似於2.71828…的常數”就像把pi叫做“一個近似等於3.1415…的無理數”。儘管正確，但是完全遺漏了要點。

Pi是所有圓都共有的周長與直徑的比率。它是所有圓固有的一個基本比率，因此在計算圓形、球體、柱體等周長、面積、體而且、表面積中都有影響。Pi很重要，它表明所有圓都是相關聯的，更不要提由圓所匯出的三角函式（sin，cos，tan）。

e是所有連續增長過程都共有的基本增長率。你可以用e表示一個簡單的增長率（其中增長是發生在年末的一個瞬變），同時發現連續型複合增長的影響，其中每一納秒（或者更快）的增長微乎其微。

只要當系統呈連續型指數級增長，e便會出現：種群密度、放射性衰變、利息計算等等。甚至並不是平穩增長的鋸齒狀系統都能用e來近似。

就像每個數字都可以認為和1（基本單位）的呈某個比例，每個圓可以認為和單位圓（半徑為1）的呈某個比例，同樣每個增長率都可以認為和e（單位增長率）的呈某個比例。

因此e並不是一個模糊的、似乎隨機的數字。e表示這樣的思想，即所有連續型增長系統和某個一般比率呈比例關係。

理解指數增長

首先來看一個基本系統，其在一段時間之後會翻倍。比如，

  • 細菌每24小時分裂並翻倍
  • 把麵條對摺，我們可以得到兩倍數量。
  • 如果你（幸運！）得到100%的利潤率，那麼你的財富每年翻倍。

看起來就像這樣：

分裂成兩個或者翻倍是一個很普遍的級數。當然我們可以三倍或四倍地增加，但是雙倍比較方便，所以這裡就隨我吧。

數學上，如果分裂x次，那麼我們得到原始物品數量的({2^x})倍。一次分裂我們得到({2^{1}})或者2倍。四次分裂我們得到({2^{4}})或者16倍。通用公式：

\displaystyle{ growth = 2^x }

另一種描述方式，雙倍也就是100%的增長。我們可以重寫公式如下：

\displaystyle{ growth = (1 + 100\%)^x}

雖然等式相同，但我們對2的分割具有真實意義，即原始值（1）加上100%。聰明吧？

當然，我們可以用任意數字（50%，25%，200%）代替100%，然後得到關於新比率的growth公式。因此x個週期的回報的通用公式是：

\displaystyle{growth = (1 + return)^x}

這只是意味著我們連續使用自定義的回報率，(1 + return)，“x”次。

深入瞭解

上述公式假設增長是離散型的。細菌在等待，等待，然後爆發，它們在最後的最後數量加倍；利息收入在一年的刻度處魔幻般出現。基於上述公式的增長是離散的、瞬間發生的，即，綠點突然出現。

事實並非如此，如果我們放大來看，會發現細菌隨時間分裂：

綠先生（Mr. Green）不只是突然出現：它緩慢增長，然後脫離藍先生（Mr. Blue）。一個單位時間（本例中是24小時）之後，綠先生完成生長，然後成熟為藍細胞，可以創造它自己的新綠細胞。

這個資訊會改變我們的等式麼？

不！在細菌例項中，半成品的綠細胞仍然做不了任何事情，除非它們完全長大並從藍色父母中分離。因此，等式保持不變。

金錢改變一切

然而財富卻不一樣。每收入1便士的利息，這1便士就能開始收入它自己的微便士（micro-pennies）。我們不需要等到收入完整的1美元利息—新的財富不需要成熟。

基於我們舊的公式，利息增長看起來是這樣的：

但是這樣並不正確：所有的利息出現在最後一天。讓我們把一年放大並分為兩塊。即每年收入100%的利息，或者每6個月收入50%。那麼前六個月收入50美分，後六個月收入另外50美分：

但這依然不正確！當然，原始的財富（Mr. Blue）在一年之內收入1美元。但是6個月後收入了其中的50美分，明白了吧，我們之前忽略了這一部分！這50美分本來也有它自己的收入：

因為比率是每半年50%，那50美分本可以收入25美分（50美分的50%）。年末我們可以得到：

  • 原始財富（Mr. Blue）
  • 藍先生創造的財富（Mr. Green）
  • 綠先生創造的25美分（Mr. Red）

總共得到$2.25，即從初始的財富中收益$1.25，比翻倍要好！

讓我們把回報寫成公式。兩個50%的半週期的growth是：

\displaystyle{growth = (1 + 100\%/2)^{2} = 2.25}

複合增長研究

是時候提升一個等級了。這次不再把增長為為兩個50%的增長週期，而把它分為三段33%的增長週期。誰說我們必須等待6個月才能開始收入利息？毫釐必爭！

3個複合週期的增長得到下面有趣的圖表：

想象每種顏色將收益向上傳送給另一種顏色（它的孩子），每個週期增長33%：

  • 0月：初始藍先生為$1。
  • 4月：藍先生已經收入它自己的1/3美元，同時創造出的綠先生擁有33美分。
  • 8月：藍先生收入另外33美分，交給綠先生，綠先生擁有66美分。綠先生在它之前的值上收益33%，創造11美分（33% * 33），這11美分變成紅先生。
  • 12月：情況變得略瘋狂了。藍先生收入另外33美分，交給綠先生，綠先生擁有完整的1美元。綠先生在它8月份的值（66美分）上收入33%的回報，即22美分，這22美分加到紅先生上，紅先生現在總共33美分。而且紅先生開始有11美分，並以此收入4美分（33% * 11），創造出紫先生。

哊！12個月後的最終值是：1 + 1 + .33 + .04即2.37。

花點時間真正來搞懂這種增長的原委：

每種顏色從其自身上收入利息，並交給另一種顏色。新創造的財富可以收入它自己的財富，依次迴圈。

我喜歡把原始量（藍先生）看做是不變的。藍先生收益財富來創造綠先生，由於藍先生不會變化，所以這是穩定的每4個月33美分的收益。圖中，藍先生有一個藍色箭頭顯示出他如何餵養綠先生的。

綠先生恰好創造並餵養紅先生（綠色箭頭），但是藍先生沒有意識到。

綠先生隨時間增長（不斷被藍先生餵養），它對紅先生貢獻越來越多。4-8月間，綠先生給了紅先生11美分。8-12月間，因為綠先生在8月份有66美分，所以給了紅先生22美分。如果我們擴充套件下圖表，綠先生將給紅先生33美分，因為綠先生在12月份達到了完整的1美元。

明白不？開始很費解—我在整合圖表時，甚至自己都凌亂了。但看到每一筆財富都能創造收益，收益反過來又創造出收益……

通過在growth等式中使用3個週期，得到這樣的公式：

\displaystyle{growth = (1 + 100\%/3)^3 = 2.37037...}

我們掙了$1.37，比上次得到的$1.25更好！

我們可以得到無盡的財富麼？

為什麼不採用更短的時間週期呢？每月、每天、每小時，甚至每納秒會怎麼樣？回報會猛漲麼？

回報確實會變得更好，但也只是在某種意義上。嘗試在我們魔幻般的公式中使用不同的數字n，來看下總的回報：

n (1 + 1/n)^n
——————
1 2
2 2.25
3 2.37
5 2.488
10 2.5937
100 2.7048
1,000 2.7169
10,000 2.71814
100,000 2.718268
1,000,000 2.7182804
…
數字越來越大，最終收斂到2.718附近。喂…等等…這看起來像e呢！！

真棒！在令人厭惡的數學術語中，如果在越來越小的時間週期上，連續複合100%的回報，e則被定義為其增長率：

\displaystyle{growth = e = \lim_{n\to\infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n}

這個極限似乎是收斂的，而且存在相應的證明。但是如你所見，當我們採用更小的時間週期時，總的回報穩定在2.718附近。

但這意味著什麼呢？

當在一個時間週期內複合100%的增長時，數字e（2.718…）是最大的可能結果。當然，開始時你期望從1增長到2（一個100%的增長，對吧？）。但是每向前一小步，你所創造的微薄利潤本身也在收益。當所有過程指明並結束，你在一個時間週期末最終得到e（2.718…），而不是2。e是最大的，當我們儘可能多地複合100%時，又發生了什麼呢？

那麼，如果我們以$1.00為開始，以100%的回報連續複合，我們得到1e。如果我們以$2.00為開始，我們得到2e。如果我們以$11.79為開始，我們得到11.79e。

e像是一個速度極限（類似光速c），指明在使用一個連續過程時，可能增長多快。你可能不總是達到速度極限，但它是一個參考點：你可以用這個通用常量的表示每個增長率。

（注：注意將增量和最終結果分離。1變成e（2.718…）是一個171.8%的增量（增長率）.e本身是在所有增量考慮進去之後（原始值+增量），你所觀測到的最終結果。

如果使用不同的比率呢？

好問題。如果我們以每年50%增長，而不是100%呢？我們依然可以使用e麼？

來看看，50%的複合增長應該是這樣的：

\displaystyle{\lim_{n\to\infty} \left( 1 + \frac{.50}{n} \right)^n}

嗯…，這裡該腫麼辦？回想下，50%是總的回報，n是將增長分成複合增長的週期數。如果我們取n=50，我們可以將增長分成50塊，每塊1%的利息：

\displaystyle{\left( 1 + \frac{.50}{50} \right)^{50} = \left( 1 + .01 \right)^{50}}

當然，這不是無窮的，但是已經相當小了。現在想象我們也將常規的100%分割成1%的塊：

\displaystyle{e \approx \left( 1 + \frac{1.00}{100} \right)^{100} = \left( 1 + .01 \right)^{100}}

Ah，殊途同歸。在我們的常規案例中，有100個1%的累積變化。在50%的場景中，有50個1%的累積變化。

這兩個數字間的差異是什麼呢？好吧，只是差了一半的變化數目而已：

\displaystyle{\left( 1 + .01 \right)^{50} = \left( 1 + .01 \right)^{100/2} = \left( \left( 1 + .01 \right)^{100}\right)^{1/2} = e^{1/2} }

相當有趣的是，50 / 100 = .5，正是e的指數。這是普遍適用的：如果有300%的增長率，我們可以將它分成300個1%的增長塊。這將是標準量的三倍，最終比率為({e^{3}})。

儘管增長可能看起來像加法（+1%），我們需要銘記其實它是乘法（x 1.01）。這正是我們為什麼使用指數（重複乘）和平方根（({e^{1/2}})表示變化量的一半，比如，乘數的一半）。

這裡取了1%，但我們本可以選擇任意小的增長單位（.1%，.0001%，甚至一個無窮小量！）。重點是對於所選取的任意比率，它只是e上的一個新指數而已：

\displaystyle{growth = e^{rate}}

如果使用不同的週期呢？

假設我們以300%增長兩年，我們要將一年的增長（({e^{3}})）乘以其自身：

\displaystyle{growth = \left(e^{3}\right)^{2} = e^{6}}

推廣之：

\displaystyle{growth = \left(e^{rate}\right)^{time} = e^{rate \cdot time}}

因於指數的魔力，我們可以避免使用兩個乘冪，而僅僅在一個指數中將比率和時間相乘。

大祕密：e整合了比率和時間

這也太粗暴了！({e^{3}})可以表示兩個東西：

  • X是時間乘以增長率：以100%增長三年是e3
  • X是增長率本身：以300%增長一年是e3

這個重疊不會引起混淆麼？公式會不會不成立呢，又是世界末日？

一切正常，當我們寫為：

\displaystyle{e^x}

變數x是比率和時間的組合。

\displaystyle{x = rate \cdot time}

我來解釋下。當處理連續型複合增長時，10年3%的增長和1年30%的增長是等效的（然後再無增長）。

  • 10年的3%的增長意味著30個1%的變化，這些變化在10年內發生，所以你是以每年3%連續增長。
  • 1個週期的30%的增長意味著30個1%的變化，但是在一年內發生，所以一年增長30%，然後停止。

每個案例中有同樣的“30個1%的變化”發生。速率（30%）越快，達到同樣的效果所用時間越少（1年）。速率越慢（3%），需要增長的時間越長（10年）。

但是在兩個案例中，最後的增長是 e.30 = 1.35。我們更加急切地希望大而快的增長，而不是慢而長的增長，但是e顯示出它們的最終效果是一樣的。

所以我們的通用公式變為：

\displaystyle{growth = e^x = e^{rt}}

如果我們有t個週期r增長的回報，我們最終的複合增長是 ert。順便，這甚至對於負的、
小數型回報也適用。

例項時間！

例項使所有事情更有趣。一條速記：我們習慣了像 2x 這樣的公式以及常規的複合利息，以至於很容易混淆（包括我自己）。更多閱讀—關於簡單的複合連續型增長。

這些例項著重於平穩的連續型增長，而不是在年度區間上的跳躍式增長。有很多方法可以在二者之間轉換，但我們將把它留給另一篇文章。

例項1：生長的水晶

假設我有 300kg 魔力水晶。它們富有魔力是因為它們每天都會生長：我觀察到一顆水晶，其在24小時之內，以自身的重量脫落生成水晶（子水晶以同樣的比率立即開始生長，但是我追蹤不到，因為我在觀察原始的脫落量）。10天之後我將擁有多少？

好的，因為水晶立即開始生長，所以我們希望連續型的增長。我們的比率是每24小時100%，那麼10天之後我們得到：300*e1*10 = 6.6Mkg 魔力寶石。

這可能不易理解：注意輸入速率和輸出速率間的差異。“輸入”是一顆水晶的改變數：24小時內100%。最終的輸出速率是e（2.718x），因為子水晶自己也在生長。

本例中我們有輸入速率（一顆水晶的生長速率），想要複合後（由於子水晶的加入，整個水晶群的生長速率）的全部結果。如果我們有總的生長速率，想要單顆水晶的生長速率，我們可以使用自然對數逆向運算。

例項2：最大利率

假設我有賬戶上有$120，利率5%。銀行很慷慨，給了我最大可能的複合。10年後我將得到多少呢？

我們的比率是5%，而且很幸運得以連續複合。10年之後，我們得到($120*e.05*10 = $197.85)。當然，大多數銀行並不是友好地給你最優的比率。你的確切回報和這個連續型模型之間的差異是它們不喜歡你的程度。

例項3：放射性衰變

我有10kg的放射性材料，似乎以每年100%的速率連續衰變。3年後我將有多少呢？

一丁點？0？一無所有？再想想。

每年100%的連續衰減是我們的起始條件。是的，我們確實開始時有10kg，並且預期在年末“失去所有”，因為我們以每年10kg的速率衰變。

過了幾個月，我們到達5kg，還剩半年？不！現在我們以每年5kg的衰變，所以此刻開始又是完整的一年！

再等幾個月，我們到達2kg。同樣，現在我們以每年2kg的速率衰變，所以我們有完整的一年（從此刻開始）。我們到達1kg時，有完整一年，到達.5kg時，有完整一年—看出道道沒？

隨著時間推移，我們失去了材料，但是衰變速率也在下降。這個不斷改變的增長（growth）是連續增長和衰變的本質。

3年後，我們將有(10*e-1*3=.498kg)。我們對衰變使用負的指數—我們想要一個小數 1/ert 與一個增長乘子 ert 做對比。[衰變常常稱為“半衰期”—我們將在以後的文章中談論這些比率的轉換。

更多例項

如果你想要更有趣的例項，試試Black-Scholes option formula（注意指數衰變中e的取值）或者radioactive decay（放射性衰變）。目的是看看公式中的 ert，然後理解它存在的原因：它模擬了一種增長或衰變。

那麼現在你知道為什麼是“e”，而不是pi或者其他什麼數字：e的“r*t”次冪告訴你速率r和時間t對增長的影響。

更多學習內容：

我的目標是：

  • 解釋e為何重要：它是類似於pi的一個基本常量，出現在增長率中。
  • 給出一個直觀解釋：e讓你看到任意增長率的影響。每個新的“成員”（綠先生，紅先生，等等）對總的增長有貢獻。
  • 展示他的使用方式：ex讓你預測任意增長率和時間週期的影響。
  • 讓你渴望學習更多：在即將出爐的文章中，我將研究e的其他屬性。

本文只是一個開始—把所有東西塞進一篇文章會使你我一樣勞累。放空自己，休息一下，繼續學習e的邪惡孿兄—自然對數。

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