藉助這道題目把wqs二分講明白
考慮如下一個問題：
現在一共有若干個物品，物品被分成兩組，現在從中選出若干個物品，但是題目會給出某種限制（也就是在這種限制條件下，物品的選擇不是隨意的，所有選擇集合中，只有一些集合符合題目給出的限制，這樣的集合才可以被選擇），這種限制只跟物品本身有關而跟其權值無關（i.e. 對一個相同的物品選擇集合，其中的物品權值無論如何變化，這個集合的合法性都不改變），而且必須從第一類物品中選出\(p\)個，問如何選擇最優
我們設\(g(x)\)表示從第一類物品選出\(x\)個且滿足題目限制的最優答案，如果說\(g(x)\)是一個凹凸函式，那麼就可以利用wqs二分
比如\(g\)長成下面這個樣子
那麼如果題目給出的\(p=9\)，那麼答案就是\(g(9)=5\)
顯然我們是不能求出\(g(x)\)的（否則可以直接輸出了），我們要想辦法把\(g\)搞出來
假設現在有一條直線，斜率為\(k\)，令其透過函式上的每一個點（注意函式是離散的），則有
透過\((x_0,g(x_0))\)的直線方程就是\(y-g(x_0)=k(x-x_0)\)
我們給第一類物品的權值都減去\(k\)，然後不管\(p\)了，在題目的限制條件下跑出來一個值\(res\)，那麼\(res\)是什麼？
\(res\)其實就是上面畫的所有直線的截距的最大值
為什麼？我們將直線寫成\(y-kx=g(x_0)-kx_0\)，注意現在\(k\)是已知量。在最初的情況下，假設我們對每個\(x_0\)都跑出來了一個最優解\(g(x_0)\)，而在減\(k\)的情況下，每個\(x_0\)的最優解就是\(g(x_0)-kx_0\)（因為權值的變化不會影響限制）。由於現在我們不管\(p\)了，只在題目的限制條件下跑出來了一個最優解，那麼就是我們遍歷了所有\(x_0\)取最優解的最優解，也就是\(max(g(x_0)-kx_0)\)