題目描述：現有硬幣六種，分別為1元、5元、10元、20元、50元、100元，假設每種硬幣數量均無限多，問用它們來湊夠N元有多少種組合方式。

解題思路：

給定一個數值sum，假設我們有m種不同型別的硬幣{V1, V2, ..., Vm}，如果要組合成sum，那麼我們有

      sum = x1 * V1 + x2 * V2 + ... + xm * Vm 

求所有可能的組合數，就是求滿足前面等值的係數{x1, x2, ..., xm}的所有可能個數。

[思路1]

當然我們可以採用暴力列舉，各個係數可能的取值無非是

    x1 = {0, 1, ..., sum / V1}, 

    x2 = {0, 1, ..., sum/ V2}

等等。

這對於硬幣種類數較小的題目還是可以應付的，當硬幣種類較多時就GG了，

而且這種方法的複雜度也很高O（sum/V1 * sum/V2 * sum/V3 * ...）

[思路2]

從上面的分析中我們也可以這麼考慮，我們希望用m種硬幣構成sum，

根據最後一個硬幣Vm的係數的取值為無非有這麼幾種情況，

xm分別取｛0, 1, 2, ..., sum/Vm｝，

換句話說，上面分析中的等式和下面的幾個等式的聯合是等價的。

              sum = x1 * V1 + x2 * V2 + ... + 0 * Vm

              sum = x1 * V1 + x2 * V2 + ... + 1 * Vm

              sum = x1 * V1 + x2 * V2 + ... + 2 * Vm

              ...

              sum = x1 * V1 + x2 * V2 + ... + K * Vm  

其中K是該xm能取的最大數值K = sum / Vm。

可是這又有什麼用呢？

不要急，我們先進行如下變數的定義：

dp[i][sum] = 用前i種硬幣構成sum 的所有組合數

那麼題目的問題實際上就是求dp[m][sum]，即用前m種硬幣（所有硬幣）構成sum的所有組合數。

在上面的聯合等式中：
當xn=0時，有多少種組合呢？

實際上就是前i-1種硬幣組合sum，有dp[i-1][sum]種！

xn = 1 時呢，有多少種組合？

實際上是用前i-1種硬幣組合成(sum - Vm)的組合數，有dp[i-1][sum -Vm]種;

xn =2呢， dp[i-1][sum - 2 * Vm]種，等等。

所有的這些情況加起來就是我們的dp[i][sum]。

所以:
dp[i][sum] = dp[i-1][sum - 0Vm] + dp[i-1][sum - 1Vm]+ dp[i-1][sum - 2Vm] + ... + dp[i-1][sum - KVm]; 其中K = sum / Vm
換一種更抽象的數學描述就是：

通過此公式，我們可以看到問題被一步步縮小，那麼初始情況是什麼呢？

如果sum=0，那麼無論有前多少種來組合0，只有一種可能，就是各個係數都等於0；

    dp[i][0] = 1   // i = 0, 1, 2, ... , m

如果我們用二位陣列表示dp[i][sum], 我們發現第i行的值全部依賴與i-1行的值，所以我們可以逐行求解該陣列。

 如果前0種硬幣要組成sum，我們規定為dp[0][sum] = 0. 

求解實際問題

題目描述

題目描述：現有硬幣六種，分別為1元、5元、10元、20元、50元、100元，假設每種硬幣數量均無限多，問用它們來湊夠N元有多少種組合方式。

package 劍指offer;

import java.util.Scanner;

public class Main {
    public static void main(String[] args) throws Exception {
        
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        while (sc.hasNext()) {
            
            int n = sc.nextInt();
            int coin[] = { 1, 5, 10, 20, 50, 100 };
            
            // dp[i][j]表示用前i種硬幣湊成j元的組合數
            long[][] dp = new long[7][n + 1];
            
            for (int i = 1; i <= n; i++) {
                dp[0][i] = 0; // 用0種硬幣湊成i元的組合數為0
            }
            
            for (int i = 0; i <= 6; i++) {
                dp[i][0] = 1; // 用i種硬幣湊成0元的組合數為1,所有硬幣均為0個即可
            }
            
            for (int i = 1; i <= 6; i++) {
                
                for (int j = 1; j <= n; j++) {
                    
                    dp[i][j] = 0;
                    for (int k = 0; k <= j / coin[i - 1]; k++) {
                        
                        dp[i][j] += dp[i - 1][j - k * coin[i - 1]];
                    }
                }
            }
            
            System.out.print(dp[6][n]);
        }
        sc.close();
    }
    
}