第六章 數學問題 -------- 6.5 歐幾里得演算法及其擴充套件

先來看看歐幾里得演算法：

public class Gcd {
    /**
     * 歐幾里德演算法,即輾轉相除法 最大公約數
     */
    public static long gcd(long m, long n) {
        return n == 0 ? m : gcd(n, m % n);
    }

    /**
     * 最小公倍數lowest common multiple (LCM)
     * 最小公倍數 = a * b / a和b的最大公約數
     */
    private static long lcm(long a, long b) {
        return a * b / gcd(a, b);
    }
}

　　接著再來看裴蜀(貝祖)等式：對於任何整數a、b和它們的最大公約數d，關於未知數x和y的線性丟番圖方程(稱為裴蜀等式)：ax+by = m 有整數解時當且僅當m是d的倍數。x、y可用擴充套件歐幾里得演算法求得。特別地，方程ax+by=1 有整數解當且僅當整數a和b互質。

　　那什麼是擴充套件歐幾里得演算法呢？

　　現在我們知道了 a 和 b 的最大公約數是 gcd(a,b) 後面用gcd表示 ，那麼，我們一定能夠找到這樣的 x 和 y ，使得: a*x + b*y = gcd 。這是一個不定方程。那麼，怎麼求出這個特解 x 和 y 呢？只需要在歐幾里德演算法的基礎上加點改動就行了。我們觀察到：歐幾里德演算法停止的狀態是： a= gcd ， b = 0 ，那麼，這是否能給我們求解 x y 提供一種思路呢？

　　首先，將a=gcd,b=0代入原方程，得到gcd*x+0*y=gcd。那麼，這時候，只要x = 1 ，y 是 0 或者其他值（無所謂是多少，反正任何數乘以 0 都等於 0， 但是 x 一定要是 1），這時，我們就會有： a*1 + b*0 = gcd。 當然這是最終狀態，但是我們是否可以從最終狀態反推到最初的狀態呢？

　　假設當前我們要處理的是求出 a 和 b的最大公約數，並求出 x 和 y 使得 a*x + b*y= gcd ，而我們已經求出了下一個狀態：b 和 a%b 的最大公約數，並且求出了一組x1 和y1 使得： b*x1 + (a%b)*y1 = gcd ， 那麼這兩個相鄰的狀態之間是否存在一種關係呢？

　　首先a可以表示成 a = b*t + k，而 t = a/b（這裡的 “/” 指的是整除），k = a%b ，所以 可以得到a = b*(a/b) +k  -->  k=a-(a/b)*b  -->  a%b = a - (a/b)*b，代入 b*x1 + (a%b)*y1 = gcd。

　　那麼，我們可以進一步得到：gcd = b*x1 + (a-(a/b)*b)*y1
　　　　　　　　　　　　 　　　　  = b*x1 + a*y1 – (a/b)*b*y1
　　　　　　　　　　   　　　　　　= a*y1 + b*(x1 – a/b*y1)

    　對比之前我們的狀態：求一組 x 和 y 使得：a*x + b*y = gcd ，是否發現了什麼？

    　這裡： x = y1

        　　　y = x1 – a/b*y1

　　現在我們找到一組特殊的解  x0 和 y0，那麼，我們就可以用 x0 和 y0 表示出整個不定方程的通解：

　　　　 x = x0 + (b/gcd)*t  （ t 取任意整數）

        　　y = y0 – (a/gcd)*t

　　如果我們想要得到 x 大於 0 的第一個解的話，那麼表示式就是：

　　　　b /= d

　　　　x = ( x0%b + b) % b

    　以上就是擴充套件歐幾里德演算法的全部過程，依然用遞迴寫：

public class ExtGcd {
    static long x;
    static long y;

    public static long gcd(long m, long n) {
        return n == 0 ? m : gcd(n, m % n);
    }
    /**
     * 擴充套件歐幾里得
     * 呼叫完成後 靜態變數xy是ax+by=m的解
     * 返回的還是最大公約數
     */
    public static long ext_gcd(long a,long b){
        if (b==0) { // 求出了最大公約數 為a
            x = 1;
            y = 0;
            return a;
        }
        long res = ext_gcd(b, a % b);
        //x,y已經被下一層遞迴更新了
        long x1 = x;//備份x
        x = y;//更新x
        y = x1 - a / b * y;//更新y
        return res;
    }
    public static void main(String[] args) {
        System.out.println(ext_gcd(2, 7));  // 1
        System.out.println(x+" "+y);        // -3 1
    }
}

　　最後再來看一下這個線性方程（或者叫二元一次不定方程）：ax+by = m 。有整數解時當且僅當m是gcd的倍數。

public static long linearEquation(long a, long b, long m) throws Exception {
    long d = ext_gcd(a, b);
    //m不是gcd(a,b)的倍數,這個方程無解
    if (m % d != 0) {
      throw new Exception("無解");
    }
    long n = m / d;//約一下,考慮m是d的倍數
    x *= n;
    y *= n;
    return d;
  }

　　擴充套件歐幾里德演算法的應用主要有以下兩個方面：

　　　（1）求解不定方程；

　　　（2）求解模線性方程（線性同餘方程）與逆元；