找陣列的波谷；及巧妙排序的分析

一個陣列A[1...n]，滿足A[1]>=A[2], A[n] >= A[n-1]。A[i]被成為波谷，意味著：A[i-1] >= A[i] <= A[i+1]。請給出一個演算法，找到陣列中的一個波谷。O(n)的方法，是很直接，有更快的方法麼？

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原題

排序只有1，2，3三個元素的陣列，不能統計1，2，3的個數。

分析

這個題目，儘管也是排序，但卻不能使用快速排序的方法。只有三個元素，如果時間複雜度仍舊是O(nlogn)，顯然不是最好的。那就可以使用線性的排序演算法，例如計數排序，可是題目中要求，不能夠對1，2，3進行統計個數。那該如何處理呢？請大家看下面的方法，我們首先通過例子來說明：

2	1	1	3	3	2
p1	p2				p3

假設，我們有三個指標：p1、p2、p3.p1從左側開始，指向第一個非1的數字；p3從右側開始，指向第一個非3的數字。p2從p1開始遍歷，如果是2，p2繼續遍歷，直到p2遇到1或者3：

如果遇到1，則和p1進行交換，然後p1向右，指向第一個非1的數字

如果遇到3，則和p3進行交換，然後p3向左，指向第一個非3的數字

交換之後，p2繼續從p1開始，如果是2繼續遍歷，如果是1或者3，重複上面的步驟，所得如下：

1	1	2	3	3	2
		p1，p2			p3

根據上面的方法繼續下去

p2在p3右側，演算法結束。

總結一下上面的演算法：

p1從左側開始，指向第一個非1的數字；p3從右側開始，指向第一個非3的數字。

p2從p1開始遍歷，如果是2，p2繼續遍歷，直到p2遇到1或者3

如果遇到1，則和p1進行交換，然後p1向右，指向第一個非1的數字

如果遇到3，則和p3進行交換，然後p3向左，指向第一個非3的數字

重複上面的步驟，直到p2在p3的右側結束。

基於快排劃分的思路

上面的思路，是針對三個數的，如果有更多的數，怎麼處理呢？比如，4個，5個等等。下面根據快速的排序的啟發，介紹一種演算法，儘管在處理三個數的時候，比較次數會多些，但，具有很好的通用性。

思路來自快排的劃分部分，快排的劃分部分：給定pivot，然後將資料劃分為<=pivot和>pivot兩部分。這樣，三個數字時，需要兩次劃分：

第一次，用1作為pivot,劃分1到最左邊；

第二次，用2作為pivot，劃分2到左邊，則得到整體的排序。

最巧妙的思路

我們將1，2，3，替換為互質的2，3，5，得到如下：

2	1	1	3	3	2
3	2	2	5	5	3

之後，乘起來得到的900.這900裡，除以2，有多少個2，就有多少個1；然後除以3，有多少個3，就有多少個3對應的2；然後除以5，有多少個5，就有多少個5對應的3。這是如何保證的呢？因為2，3，5是互質的。

如下：

最終結果為112233.上面的這種思路，實際上是計數的一種變種。沒有直接的技術，那自然就是可以的。

【分析完畢】

本文來自微信：待字閨中，2013-07-22釋出，原創@陳利人，歡迎大家繼續關注微信公眾賬號“待字閨中”。

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