BZOJ2216: [Poi2011]Lightning Conductor(DP 決策單調性)

自為風月馬前卒發表於2018-09-20

題意

題目連結

Sol

很nice的決策單調性題目

首先把給出的式子移項，我們要求的$P_i = max(a_j + sqrt{|i – j|}) – a_i$。

按套路把絕對值拆掉，$p_i = max(max_{j = 1}^i (a_j = sqrt{i – j}), max_{j = i + 1}^n (a_j + sqrt{j – i})) – a_i$

對於後面的一段，我們把序列翻轉之後和前一段是等價的。

也就是說，我們現在只需要找到$P_i = max_{j = 1}^i (a_j +　sqrt{i – j})$

考慮到式子中只有一個max函式，那這玩意兒應該是有決策單調性的

直接設$f_j = a_j + sqrt{i – j}, i geqslant j$，其中$i$是自變數

觀察這個函式，應該是一個在$[j, INF]$內有定義，過點$(j, a[j])$的函式，且增速與函式$g_i = sqrt{i}$相同

我們需要做的，就是對每個$i$，找到最大的$f_j$

考慮到$g_i$增長速度會越來越慢，所以一個函式增長到一定程度後可能會被另一個函式取代

直接用單調佇列維護，設$K_{i, j}$表示$f_i, f_j$的交點，$h, t$分別表示隊首/尾，

當新加入一個元素$i$的時候，顯然，若$K_{t -1, t} > K_{t – 1, i}$，那麼$t$這個函式是沒用的、

當$K_{h, h+1} < i$的時候，彈出隊首

就是最後輸出答案的時候有點“卡精度”，真噁心

經驗：

以後看到$f_i = max(f_j) + g$的式子一定要往單調性上想，如果單調性不是很顯然的話可以用換元法設函式找單調性

另外絕對值拆開算一般會好算一些

#include<bits/stdc++.h>
#define Pair pair<int, int>
#define MP(x, y) make_pair(x, y)
#define fi first
#define se second
using namespace std;
const int MAXN = 1e6 + 10, INF = 1e9 + 10;
inline int read() {
    char c = getchar(); int x = 0, f = 1;
    while(c < `0` || c > `9`) {if(c == `-`) f = -1; c = getchar();}
    while(c >= `0` && c <= `9`) x = x * 10 + c - `0`, c = getchar();
    return x * f;
}
int N, a[MAXN], q[MAXN], Cro[MAXN];
double P[MAXN], sqr[MAXN];
double calc(int j, int i) {
    return a[j] + sqr[i - j];
}
int K(int x, int y) {
    int l = max(x, y), r = N, ans = N + 1;
    while(l <= r) {
        int mid = l + r >> 1;
        if(calc(x, mid) >= calc(y, mid)) l = mid + 1;
        else r = mid - 1, ans = mid;
    }
    return ans;
}
void solve() {
    int h = 1, t = 0;
    for(int i = 1; i <= N; i++) {
        while(h < t && K(q[t - 1], q[t]) >= K(q[t], i)) t--;
        q[++t] = i;
        while(h < t && K(q[h], q[h + 1]) <= i) h++;
        P[i] = max(P[i], calc(q[h], i));
    }
}
main() {
    N = read();
    for(int i = 1; i <= N; i++) a[i] = read(), sqr[i] = sqrt(i);
    solve();
    reverse(a + 1, a + N + 1);
    reverse(P + 1, P + N + 1);
    solve();
    for(int i = N; i >= 1; i--)
        printf("%d
", max(0, (int)ceil(P[i]) - a[i]));
    return 0;
}

 

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