前言
某些概念。
四邊形不等式是 dp 式子滿足決策單調性的必要但不充分條件。
決策單調性：對於某個最最佳化問題而言，若任意的 \(i<j\) 都滿足 \(opt(i) \leq opt(j)\)，那麼稱該 dp 滿足決策單調性。（\(opt_i\) 表示 \(dp_i\) 從 \(opt_i\) 這種情形轉移過來）
以下先用最基礎的問題討論。\(f_i = \min\limits_{j=1}^{i-1}\{w(j,i)\}\)。樸素要 \(O(n^2)\)。
四邊形不等式
四邊形不等式為：對於任意的 \(a\leq b\leq c \leq d\)，有 \(w(a,c) + w(b,d) \leq w(a,d) + w(c,d)\)。
- 如果滿足四邊形不等式，那麼式子滿足決策單調性。
證明
假設有 \(b = opt(c), a = opt(d)\) 並且 \(a < b\leq c < d\)。根據假設，可知 \(w(a,d) \leq w(b,d)\) 且 \(w(b,c) \leq w(a,c)\)。得到式子：
\[w(a,d) - w(b,d)\leq0\leq w(a,c) - w(b,c)
\]
\[w(a,c) + w(b,d) \geq w(a,d) + w(c,d)
\]
與四邊形不等式矛盾。證畢。
以下是一些性質：
- 如果 \(a(i,j)，b(i,j)\) 滿足四邊形不等式，對於 \(c_1,c_2 \geq 0\)，有 \(c_1a(i,j) +c_2b(i,j)\) 滿足四邊形不等式。
- 如果