嘗試回到 1, 2 月份的文風。
感覺，自己思考的時候最好不要亂走，模擬一下考場上的氛圍和緊張感，讓自己保持專注。
但是當你已經瞭解了這個問題的全貌後，隨機遊走一會，仔細觀察問題，梳理思路，感覺收穫會比較大。
所以看起來我不擅長自己想題，比較擅長馬後炮。
[CF1718D] Permutation for Burenka *3300
轉化條件，顯然題中描述的就是兩個序列的笛卡爾樹同構。
現在問題轉化為：把 \(s\) 和一個未知的 \(d\) 填進去，讓你 判定 是否存在合法方案。
對於判定問題，我目前知道的思路：
- 歸納 / 貪心構造。
- 擬合幾個必要條件，嘗試證明其充分性。
- 對於存在較明顯過程性的題目，嘗試刻畫其最終局面。
- dp 套 dp 那樣的判定。似乎可以說是自動機。
初看這個問題我們無從下手，此時我們有一些基本的手段：
- 列出有效資訊。本題中我可以知道笛卡爾樹上每個節點填的範圍 \([l_i, r_i]\)。
- 問題特殊化，考慮一條鏈上的情況，我們可以發現兩件事情：
-
- 一個粗略的判定方法：對於連續的一段空白點，其對應的值域上 \(s\) 中是否存在相同數量的對應的點。允許一次判定失敗。
- \(d\) 的取值範圍是一段區間。
對於第 2 個性質，我們可以直接猜測，這個結論在原問題上同樣成立。
對於第 1 條，我們發現並不好遷移到樹上，但是本身問題不大，於是我們考慮 找等價表述。
然後我們又有一個方法是 交換維度考慮。剛剛從樹上的角度，現在我們從 \(s\) 的角度想，問題表述為：每個 \(s\) 都能找到一個對應的 \(s_i\in [l_j,r_j]\)。也就是 匹配。
這顯然是個必然條件。它充分嗎？是的。證明：考慮調整法。不合法的位置必然相鄰，而相鄰位置限制必然相同。於是我們不斷交換直至合法即可。
抽象模型，考慮這個二分圖匹配怎麼做，如果給定 \(d\) 我們有經典貪心：區間按 \(r\) 排序後能選就選。
還剩一個問題：\(d\) 的取值範圍到底怎麼求。
事實上 \(d\) 取值是一段區間有若干種理解方式，比如匹配到最後剩下一個區間的交，以及 \(+1,-1\) 之類的調整結合貪心過程理解。
嚴謹的證明要透過二分圖。完美匹配問題考慮 Hall 定理描述。Hall 定理思考的一個 trick 是 優先選自由度高的一方。比如這個題，兩邊分別是點和區間，應該思考區間。
對 Hall 定理熟悉的話應該瞭解這種分析方法：我們列舉一段區間 \([L, R]\)，如果有完美匹配那麼 \(|\{i|[l_i, r_i]\subseteq [L, R]\}|\le |\{i|s_i\in [L, R]\}|\)。
定義 \(F(L,R)\) 為這一串式子。由於沒有完美匹配，存在 \(l,r\) 使得 \(F(l,r)=1\)，那麼 \(d\) 必然在所有這些 \([l,r]\) 的交的範圍內。得證。
哦其實還有 \(F(l,r)>1\) 的，這種平凡情況直接判了就好。
所以我們知道的 \(d\) 的求法，按 \(r\) 升序，\(l\) 降序分別求解一次，即得 \([L, R]\)。
唉但是感覺這類貪心題還是強行掃描線 + 線段樹維護來的舒服啊。