套路題
題意
求有多少個 \(1\) 到 \(n\) 的排列滿足恰有 \(k\) 對在排列中相鄰的數滿足前小於後
\(2 \leq n \leq 500, 0 \leq k \leq (n - 1)\)
思路
f[i][j][k] 表示已經放置了前 i 個數， 放置的第i個數是前i個數中第j大的($ 1\leq\(`j`\)\leq$i)，已放置的前i個數形成的所有排列滿足恰有 k 對在排列中相鄰的數滿足前小於後的排列數量。
放置第i+1個數時，第i+1個數是前i+1個數中第j大的，第i個數是嚴格小於前i個數中第j大的，會為排列增加一對相鄰的數滿足前小於後，第i個數是大於等於前i個數中第j大的，不會為排列增加一對相鄰的數滿足前小於後，轉移方程為：
\[f_{(i + 1) j k} = \sum_{x = 1}^{j - 1}f_{i x (k-1)} + \sum_{x=j}^{i}f_{ixk}
\]
顯然，後面的和式可以透過字首和最佳化的。
時間複雜度為\(O(n^2k)\)。
G - Similar Permutation
題意
求\(1\)到\(n\)的排列\(A\) 和 \(B\)的相似度為\(k\)的數量。
相似度計算：\(k = \sum_{i = 2}^{n}[(A_i - A_{i-1})(B_i - B_{i-1}) > 0]\) (\([X] = 1, X 為真，[X] = 0, X為假\))。
\(2 \leq n \leq 100, 0 \leq k \leq (n - 1)\)。
思路
與前一道題相比，這一題只是增加了一維狀態。
f[i][a][b][k] 表示排列\(A\),\(B\)已經放置了前 i 個數, 排列\(A\)放置的第i個數在排列\(A\)中是第a大的，排列\(B\)放置的第i個數在排列\(B\)中是第b大的，此時相似度為\(k\)的排列數量。
轉移方程為：
\[f_{(i+1)abk} = \sum_{x = 1}^{a - 1}\sum_{y = 1}^{b - 1} f_{ixy(k-1)} +
\sum_{x = a}^{i}\sum_{y = b}^{i} f_{ixy(k-1)} +
\sum_{x = 1}^{a - 1}\sum_{y = b}^{i} f_{ixyk} +
\sum_{x = a}^{i}\sum_{y = 1}^{b - 1} f_{ixyk}
\]
和式同樣可以使用字首和來最佳化。
時間複雜度為\(O(n^4)\)。
程式碼
int pre[107][107][107], f[107][107][107];
void solve_problem() {
int n, m, P;
std::cin >> n >> m >> P;
auto add = [&](int a, int b) -> int {
a += b;
if ( a >= P ) a -= P;
return a;
};
auto sub = [&](int a, int b) -> int {
a -= b;
if ( a < 0 ) a += P;
return a;
};
auto sum = [&](int n, int x1, int y1, int x2, int y2) -> int {
if (n < 0) return 0;
return add(sub(sub(pre[n][x2][y2], pre[n][x2][y1 - 1]), pre[n][x1 - 1][y2]), pre[n][x1 - 1][y1 - 1]);
};
for (int i = 0; i <= n; i++)
for (int j = 0; j <= n; j++)
for (int h = 0; h <= n; h++)
pre[i][j][h] = f[i][j][h] = 0;
f[0][1][1] = 1;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
for (int k = 0; k <= i + 1; k++) {
for (int a = 1; a <= i; a++) {
for (int b = 1; b <= i; b++) {
pre[k][a][b] = add(pre[k][a][b - 1], f[k][a][b]);
}
}
for (int b = 1; b <= i; b++) {
for (int a = 1; a <= i; a++) {
pre[k][a][b] = add(pre[k][a][b], pre[k][a - 1][b]);
}
}
}
for (int k = 0; k <= i + 1; k++) {
for (int a = 1; a <= i + 1; a++) {
for (int b = 1; b <= i + 1; b++) {
f[k][a][b] = add(
add(sum(k - 1, 1, 1, a - 1, b - 1), sum(k - 1, a, b, i, i)),
add(sum(k, 1, b, a - 1, i), sum(k, a, 1, i, b - 1))
);
}
}
}
}
std::cout << sum(m, 1, 1, n, n) << "\n";
}