植樹節，程式設計師要爬哪些“樹”？

AI科技大本營發表於2019-03-12
程式設計師

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作者 | 程式猿小吳、進擊的Hello_World

轉載自五分鐘學演算法（ID: CXYxiaowu）


公曆 3 月 12 日是一年一度的植樹節。旨在宣傳保護森林，並動員群眾參加植樹造林活動。說到樹，程式猿們肯定不陌生，趁著這個植樹節，普及一下程式猿們經常遇見的樹。


二叉搜尋樹


定義


二叉搜尋樹又稱二叉查詢樹，亦稱為二叉排序樹。設 x 為二叉查詢樹中的一個節點，x 節點包含關鍵字 key，節點x 的 key 值記為 key[x] 。如果 y 是 x 的左子樹中的一個節點，則 key[y] <= key[x] ；如果 y 是 x 的右子樹的一個節點，則 key[y] >= key[x] 。


查詢效能


當資料數目為 N，樹高度保持 logN 附近。則平均查詢長度與 logN 成正比，查詢平均時間複雜度為 O(logN) 。 當先後插入的關鍵字有序時，二叉搜尋樹退化成單支樹結構。此時樹高 N 。平均查詢長度為 (N+1)/2 ，查詢的平均時間複雜度為 O(N) 。


插入效能


插入效率與查詢效率一致。
  

刪除效能


刪除節點時，若節點為葉子節點，或者節點只有單一子樹，則時間複雜度為 O(1) 。若節點既有左子樹又有右子樹，則需要執行遞迴過程，對應時間複雜度為 O(logN) 。


應用場景


二叉排序樹就既有連結串列的好處，也有陣列的好處，因此 在處理大批量的動態的資料是比較有用。


種樹



平衡二叉樹


定義


平衡二叉樹是一種特殊的二叉搜尋樹。平衡二叉樹保證節點平衡因子的絕對值不超過1，保證了樹的平衡。


查詢效能


平衡二叉樹是嚴格平衡的，那麼查詢過程與二叉搜尋樹一樣，只是平衡二叉樹不會出現最差的單支樹情形。因此查詢效率最好，最壞情況時間複雜度為 O(logN) 。


插入效能


插入資料之前需要進行查詢操作，查詢到插入位置。插入資料後需要進行旋轉操作，旋轉操作複雜度為常量級。因此插入資料的時間複雜度與查詢相同為 O(logN)。


刪除效能


刪除資料同樣需要查詢資料，在刪除資料後需要進行調整。一次刪除最多需要需要O(logN)次旋轉，因此刪除資料的時間複雜度為O(logN)+O(logN)=O(2logN)。


應用場景


SGI/STL的 set/map 底層都是用紅黑樹（平衡二叉樹的一種）實現的。


種樹



紅黑樹


定義


平衡二叉樹的嚴格平衡策略以犧牲建立查詢結構(插入，刪除操作)的代價，換來了穩定的O(logN) 的查詢時間複雜度。紅黑樹採用了折中策略，即不犧牲太大的建立查詢結構的代價，同時又能保證穩定高效的查詢效率。


查詢效能


由於紅黑樹的性質(最長路徑長度不超過最短路徑長度的 2 倍)，可以說明紅黑樹雖然不像平衡二叉樹一樣是嚴格平衡的，但平衡效能還是要比二叉搜尋樹要好。其查詢代價基本維持在 O(logN) 左右，但在最差情況下(最長路徑是最短路徑的 2 倍少 1)，比平衡二叉樹效率低一些。


插入效能


紅黑樹插入結點時，需要旋轉操作和變色操作。但由於只需要保證紅黑樹基本平衡就可以了。因此插入結點最多隻需要2次旋轉，這一點和平衡二叉樹的插入操作一樣，但是變色操作的時間複雜度為O(logN)。


刪除效能


紅黑樹的刪除操作代價要比平衡二叉樹要好的多，刪除一個結點最多隻需要 3 次旋轉操作，保證了刪除時間複雜度維持在常量級。


應用場景


應用場景有很多。

  • Java 中的 TreeSet ,TreeMap，HashMap

  • C++ 的 STL中的 map 和 set 都是用紅黑樹實現的

  • epoll 在核心中的實現，用紅黑樹管理事件塊

  • nginx 中，用紅黑樹管理 timer 等

  • linux 程式排程 Completely Fair Schedule r,用紅黑樹管理程式控制塊


種樹

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B 樹


定義


B樹是一種多路平衡查詢樹，在相同資料數目情形下，B樹的高度更小，這樣就減少了磁碟的IO次數，在檔案系統以及資料庫索引等場景下提升了查詢效率。


查詢效能


B樹的查詢分成兩種：一種是從一個結點查詢另一結點的地址的時候，需要定位磁碟地址(查詢地址)，查詢代價極高。另一種是將結點中的有序關鍵字序列放入記憶體，進行優化查詢(可以用折半)，相比查詢代價極低。而B樹的高度很小，因此在這一背景下，B樹比任何二叉結構查詢樹的效率都要高很多。


插入效能


B樹的插入會發生結點的分裂操作。當插入操作引起了 s 個節點的分裂時，磁碟訪問的次數為 h (讀取搜尋路徑上的節點) ＋2s (回寫兩個分裂出的新節點) ＋1（回寫新的根節點或插入後沒有導致分裂的節點）。因此，所需要的磁碟訪問次數是 h+2s+1，最多可達到 3h+1。因此插入的代價較大。


刪除效能


B樹的刪除會發生結點合併操作。最壞情況下磁碟訪問次數是 3h＝（找到包含被刪除元素需要h次讀訪問）+（獲取第2至h層的最相鄰兄弟需要h-1次讀訪問）+（在第3至h層的合併需要h-2次寫訪問）+（對修改過的根節點和第2層的兩個節點進行3次寫訪問）。


應用場景


B樹/B+樹主要用於磁碟檔案組織 資料索引和資料庫索引等場景。


種樹

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B+ 樹


定義


B+樹是B-樹的一種變體，B+樹相比B-樹的特點：

（1）索引節點的key值均會出現在葉子節點中。
（2）索引節點中的key值在葉子節點中或者為最大值或者為最小值。
（3）葉子節點使用單連結串列的形式連結起來。


查詢效能


（1）在相同數量的待查資料下，B+樹查詢過程中需要呼叫的磁碟IO操作要少於普通B-樹。由於B+樹所在的磁碟儲存背景下，因此B+樹的查詢效能要好於B-樹。 


（2）B+樹的查詢效率更加穩定，因為所有葉子結點都處於同一層中，而且查詢所有關鍵字都必須走完從根結點到葉子結點的全部歷程。因此同一顆B+樹中，任何關鍵字的查詢比較次數都是一樣的。而B樹的查詢是不穩定的。


插入效能


B+樹的插入過程與B樹類似，效能也基本一致。


刪除效能


刪除效能與B樹也基本一致。


應用場景


B樹/B+樹主要用於磁碟檔案組織 資料索引和資料庫索引等場景。


種樹


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霍夫曼樹


定義


給定 n 個權值作為 n 個葉子結點，構造一棵二叉樹，若該樹的帶權路徑長度達到最小，稱這樣的二叉樹為最優二叉樹，也稱為霍夫曼樹(Huffman Tree)。


霍夫曼樹是帶權路徑長度最短的樹，權值較大的結點離根較近。


應用場景


霍夫曼樹主要用於霍夫曼編碼，進行資料壓縮領域。


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霍夫曼編碼




今日互動，上面這六種樹中，你爬過哪幾種樹？


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線上分享會

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分享者：董文馨（00後，暢銷書“你也能看得懂的Python演算法書”作者之一。史丹佛大學計算機系和劍橋大學雙Offer。）

最短路徑問題在我們生活中無處不在，本次分享將會用四個不同的Python演算法解決最短路徑問題，並且分析每一個演算法在實際應用中的利與弊。


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