隨機機制的探索（RandomPicker中文文件）

RandomPicker?? 最初的靈感來來自音樂隨機播放：
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最近在研究遊戲機制，發現隨機在遊戲領域有著廣闊的空間。隨機和博弈往往聯絡在一起，而博弈的英文即‘game’，非常有趣的一個詞。

暴擊機制與翻牌隨機

在這裡，推薦一篇非常不錯的文章: 隨機機制在遊戲中的應用與控制。

裡面提到的暴擊機制非常吸引我。因為真隨機確實有個弊端，無法保證運氣不好的情況下多少次能觸發。
翻牌隨機呢能夠保證一輪當中必定觸發一次，但是如果用在遊戲領域它有一個非常要命的缺陷——存在真空期。何為真空期？我對其這麼定義：

概率大於0的事件在某些情況下100%不觸發，這些時期即為真空期。

舉個例子，有5張牌，其中只有一張是中獎。那麼，若第一次就翻到了中獎，也就意味著後面4次100%不會中獎。這是很要命的，賭徒都帶有僥倖心理，即便只有1%的機會也願意放手一博。但是，沒有哪個賭徒蠢到會去博0%的機會。因此，真空期是應該避免的。

上面提到的暴擊機制解決了這個問題

累計爆率，累計爆率設計思路和實現方法為:爆率的計算使用如下模式:每次攻擊如果不暴擊則下一次的暴率增加，直到產生暴擊以後累積的爆率復原。
例:單次基礎暴擊為12%，如果第一次沒暴擊則第二次暴擊為24%。如果第二次仍然沒暴擊則第三次暴擊為36%。第三次出現暴擊,累計被清空。第四次的暴擊率還原為12%。(很顯然,如果一直不暴擊,那麼暴擊一定會累計到100%以上產生必然的暴擊)。

當然，這個暴擊率遞增有點誇張了，但是它提供了一個思路與一種實現可能：

1.通過重置隨機率來避免真空期；2.這個綜合概率是可以算出來的。

概率推算

因此，翻牌隨機也只需要加一個簡單的重置即可：翻到中獎牌後，重新洗牌。存在的問題就是：概率如何計算？假設我想保證20%的中獎率，該有多少張牌？

用歸納法來遞推一下：
1張牌，機率1；
兩張牌，1/2的機率第1次中，1-1/2的機率第2次中(1/2)，綜合=1/2+(1/2)/2=3/4；
3張牌，1/3的機率第1次中，(1-1/3) * (1/2)的機率第2次中(1/3)，1 -1/3-1/3的機率第3次中(1/3)，綜合=1/3+(1/3)/2+(1/3)/3=11/18；
看不出什麼，那麼繼續遞推——
4張牌，1/4的機率第1次中，(1-1/4) * (1/3)的機率第2次中(1/4)，(1-1/4-1/4) * (1/2)的機率第3次中(1/4)，1-1/4-1/4-1/4的機率第4次中(1/4)，綜合=1/4+1/8+1/12+1/16=25/48；
...
好了，現在比較明顯了
n張牌，1/n第1次中，1/n第2次中，1/n第三次中...1/n第n次中。綜合=1/n + 1/(n * 2) + 1/(n * 3) + ... + 1/(n * n) = (1/n) * (1+1/2+1/3+...+1/n)

!!!真tm美妙的數學，目前還沒有公式能表示 1+1/2+1/3+...+1/n ，看來只能寫個指令碼算出前54張的對應概率了。
Python程式碼如下：

def poker(n):
    rate = 0
    for x in range(1,n+1):
        rate = rate + 1/x
    return (1/n) * rate

for x in range(1,55):
    print("%d: %.2f" % (x, poker(x)*100) + "%")

公式：(1/n) * (1+1/2+1/3+...+1/n)
n=1...54時
1: 100.00%
2: 75.00%
3: 61.11%
4: 52.08%
5: 45.67%
6: 40.83%
7: 37.04%
8: 33.97%
9: 31.43%
10: 29.29%
11: 27.45%
12: 25.86%
13: 24.46%
14: 23.23%
15: 22.12%
16: 21.13%
17: 20.23%
18: 19.42%
19: 18.67%
20: 17.99%
21: 17.36%
22: 16.78%
23: 16.24%
24: 15.73%
25: 15.26%
26: 14.82%
27: 14.41%
28: 14.03%
29: 13.66%
30: 13.32%
31: 12.99%
32: 12.68%
33: 12.39%
34: 12.11%
35: 11.85%
36: 11.60%
37: 11.36%
38: 11.13%
39: 10.91%
40: 10.70%
41: 10.49%
42: 10.30%
43: 10.12%
44: 9.94%
45: 9.77%
46: 9.60%
47: 9.44%
48: 9.29%
49: 9.14%
50: 9.00%
51: 8.86%
52: 8.73%
53: 8.60%
54: 8.47%

因此，可以得出，若希望中獎率為20%（在翻牌重置模式下），則需要17或者18張牌。

概率校驗

一切似乎很美妙，輕而易舉推出了公式與概率表。
然而，用Java程式碼進行了一萬次抽取校驗，發現得出的概率與概率表相差甚遠。

    private void pokerTest(int num) {
        List<Integer> list = new ArrayList<>();
        for (int x = 0; x < num; x++)
            list.add(x);
        Collections.shuffle(list);

        Random random = new Random();
        int luckyCount = 0;
        for (int i = 0; i < 10_000; i++) {
            int index = random.nextInt(list.size());
            int lucky = list.remove(index);
            if (lucky == num/2) { //取中間值作為中獎數
                luckyCount++;
                //抽中後重新洗牌
                list.clear();
                for (int x = 0; x < num; x++)
                    list.add(x);
                Collections.shuffle(list);
            }
        }
        System.out.println(" " + (luckyCount/10_000f));
    }

執行pokerTest(17)，得到0.11左右的數，與表中的20.23%差得有點多。
一步步校驗，
執行pokerTest(1)，得到1.0，沒問題;
執行pokerTest(2)，得到0.67，問題來了。

為什麼兩張牌的時候，概率會是0.67 ？？？

公式校準

回顧一下，兩張牌的概率我是這麼算的:

錯誤的演算法：
兩張牌，1/2的機率第1次中，1-1/2的機率第2次中(1/2)，綜合=1/2+(1/2)/2=3/4；

考慮到了每次抽中的概率，考慮到了要除以抽中時所用的次數，但是！忽略了次數佔比。兩張牌，一次中的次數佔比是1/(1+2)，兩次的次數佔比是2/(1+2)，因此，兩張牌應該這麼算：

兩張牌，1/2的機率第1次中，1-1/2的機率第2次中(1/2)，綜合=(1/2) * (1/(1+2))+((1/2)/2) * (2/(1+2))=2/3；

正確的公式應是：

n張牌，1/n第1次中，1/n第2次中，1/n第三次中...1/n第n次中。綜合=(2/(n * (n+1)) * 1/n + (2 * 2/(n * (n+1)) * 1/(n * 2) + ... + (n * 2/(n * (n+1)) * 1/(n * n) = (2/(n * (n+1)) * (1+1+1+...+1) = 2/(n + 1)

結果如此簡單：2/(n+1)。代入測試程式碼，發現基本沒有偏差。

正確Python程式碼：

def poker(n):
    return 2/(n+1)

for x in range(1,55):
    print("%d: %.2f" % (x, poker(x)*100) + "%")

P=2/(n+1)
1: 100.00%
2: 66.67%
3: 50.00%
4: 40.00%
5: 33.33%
6: 28.57%
7: 25.00%
8: 22.22%
9: 20.00%
10: 18.18%
11: 16.67%
12: 15.38%
13: 14.29%
14: 13.33%
15: 12.50%
16: 11.76%
17: 11.11%
18: 10.53%
19: 10.00%
20: 9.52%
21: 9.09%
22: 8.70%
23: 8.33%
24: 8.00%
25: 7.69%
26: 7.41%
27: 7.14%
28: 6.90%
29: 6.67%
30: 6.45%
31: 6.25%
32: 6.06%
33: 5.88%
34: 5.71%
35: 5.56%
36: 5.41%
37: 5.26%
38: 5.13%
39: 5.00%
40: 4.88%
41: 4.76%
42: 4.65%
43: 4.55%
44: 4.44%
45: 4.35%
46: 4.26%
47: 4.17%
48: 4.08%
49: 4.00%
50: 3.92%
51: 3.85%
52: 3.77%
53: 3.70%
54: 3.64%

因此，在翻牌重置模式下，若希望中獎率為20%，需要9張牌；若希望中獎率為5%，需要39張牌。

翻牌重置的最終程式碼參見