微分幾何學習筆記 (2)- 微分流形(Manifold)

複合對映

對於X，Y和Z三個集合，存在對映f，g和h

其中h可以表示為先f後g的複合對映，所以複合對映h可以表示為下面的形式，注意書寫的順序和對映覆合的順序相反。

流形(Manifold)

粗略的說，一個拓撲空間(Topological Space)再加上一個微分結構(Differentiable structure)，稱為流形(Manifold)。

開覆蓋(Open Cover)
假定有一個拓撲空間M，存在一個由M上的若干開集(Open Set)組成的集合

如果下式成立，則說上面這個是M的一個開覆蓋(Open Cover)

如果M上存在一個開覆蓋，並且滿足下面兩個條件，則稱M為一個n維的流形(Manifold)。

• 對於這個開覆蓋中的任意一個開集Oα，存在一個從Oα到拓撲空間Rn上的某個開子集的同胚對映。(注意：Rn的拓撲結構在沒有特殊宣告的時候取通常拓撲(Usual topology)，即可表示為開球之並的子集的集合)
  

  

• 對於開集Oα和開集Oβ，如果它們的交集不為空，則從Vα到Vβ上的複合對映的無限階連續(任意階導函式存在且連續)。

  
  
  

流形(Manifold)的維數是由對映ψ決定的，ψ將一個開集對映到一個幾維的空間上，流形的維數就是幾。

對於條件二，需要特別注意這個條件中對映的原像和像的範圍。

第一個條件使得一個n維的流形(Manifold)的區域性上看起來像一個Rn。

第二個條件保證了不同的開集之間的相容性，又叫做相容性條件(Compatibility condition)。

圖/座標系&圖冊(Chart/Coordinate System& Atlas)

對於M上的某個點，通過ψ對映得到了Rn上的一組數(x1,...,xn)，這一組數稱作這個點在ψ對映下對應的自然座標。

對於M中紅色區域中的點，在ψα和ψβ的對映下得到了(x1,...,xn)，(x1',...,xn')兩個不同的自然座標，而這兩個不同的自然座標可以通過之前提到的複合對映進行變換，這就是所謂的座標變換(Coordinate transformation)。

一般將流型上的某個開集O和其對應的對映ψ稱作一個座標系(Coordinate system)，或者圖(Chart)，記作(O, ψ)。

若干圖(Chart)的集合稱做圖冊(Atlas)，記作{ (O1, ψ1), ..., (On, ψn) }。

例子

給定R2上的一個拓撲空間 M = R2

1. 尋找一個最簡單的開覆蓋：O1 = R2。
2. 尋找一個最簡單的同胚對映：ψ1 : R2 -> R2（恆等對映）

則M是一個2維流形，其圖冊為{ (O1, ψ1) }。

可以發現在上面的例子中，O1在對映ψ1下的座標就是普通的直角座標。

通過在開覆蓋中給定其它滿足條件的同胚對映，可以得到不同的座標系(Coordinate system)或者圖(Chart)。如果要使用極座標來表示2維流型上的某個點，只需要按照上面說的找到其相應的對映即可。

給定R2上的一個拓撲空間S

可以按照下面的方式劃分不同的座標系(Coordinate system)或圖(Chart)

由於圖中四個相交的部分都等效，可以取其中一個加以證明，如黃色和綠色相交的地方。

黃色區域的點在該座標系下的座標的值為該點在R2下自然座標的橫座標，即x，同理綠色區域的點在其座標系下的座標為y。

對於一個從黃色區域對應的座標系到綠色區域的座標變換，其表示式為

顯然上式無限階連續(任意階導函式存在且連續)

則M是一個1維流形，其圖冊為{ (O1, ψ1), (O2, ψ2), (O3, ψ3), (O4, ψ4) }。

圖冊(Atlas)

對於一個拓撲空間M，定義了兩個不同的圖冊{ (O1, ψ1) }和{ (O2, ψ2) }。

當這兩個圖冊不相容(O1和O2的交集不為空，並且從O1到O2的複合對映不是無限階連續)，這個時候就在同一個拓撲空間上定義了兩個不同流形。

一開始談流形的時候說過：一個拓撲空間再加上一個微分結構，稱為流形。那麼對於這兩個流形，它們的拓撲結構是相同，不同的是它們微分結構。

而當這兩個圖冊相容的時候，可以把這兩個圖冊合併為一個更大的圖冊{ (O1, ψ1), (O2, ψ2) }，這樣3個圖冊定義出來流形的是一樣的。為了方便，一般定義一個流形都取最大的圖冊。

流形間對映

假定存在一個從流形M到流形M’上的對映f，根據流形的定義，分別選定它們開覆蓋上的開集O和O'，且它們分別存在從自身到對應維度的拓撲空間Rn和Rn'上的某個開子集的同胚對映，如下圖所示

觀察圖中的對映關係，可以發現對映f是ψ、g和ψ'逆對映的複合，根據流形的定義可以知道ψ和ψ'為同胚對映，所以要看對映f的連續性，只需要看對映g的連續性，如果g是無限階連續的，則f也是無限階連續的。

之前提到，兩個拓撲空間的對映如果是One to one和onto，並且正反對映都是C0連續的，則稱它們是同胚的。

同樣地，兩個流形之間的對映如果是One to one和onto，並且正反對映都是無限階連續的，則稱它們是微分同胚(Diffeomorphism)的。

標量場 & 函式(Scaler Field & Function)

假定存在一個從流形M到實數域R上的對映f，則稱對映f為一個函式(Function)或者標量場(Scaler field)。

需要特別注意，這裡的函式和我們之前學的函式是不一樣的。

以前我們考慮一個n元函式需要給定一個n元的自變數，換句話說就是要給定一個座標，而對於流形M上的同一個點，由於給定的座標系或圖不同，得到的座標也不同。不同的座標通過函式得到的函式值相同，所以這幾個函式的函式關係也不同。

所以，對於之前理解的函式，他是依賴於座標系或圖，它是相對的。而這裡的我們所提到的函式是不依賴於具體座標系，它是絕對的。

所以為了防止混淆，把這個從流形M到實數域R上的對映f稱作標量場更加合適。

開子集&閉子集

如果一個子集是開子集(Open Subset)，那麼它的補集就是閉子集(Closed Subset)。

一個集既可以是開的，也可以是閉的，還能是不開不閉和即開又閉的。

全集是開子集，全集的補集是空子集，所以空集是閉子集，而空集又是開子集，所以空集即開又閉，反之同理可以得到全集也是既開又閉的。

連通性(Connectivity)

如果一個拓撲空間的既開又閉的子集只有兩個，則稱它是連通的(Connected)。

還有一個和上面連通性定義比較像的定義：對於一個拓撲空間內的任意兩點，如果它們都能夠被處於該拓撲空間內部的一條曲線連線，則稱它是弧連通。

這兩個定義本身是有一定區別的，不過在研究流形的時候它們是沒有區別的。