計算中綴表示式

凜冬烈焰發表於2018-05-06

“計算中綴表示式”可以稱得上是一個特別經典的關於棧的演算法題，幾乎在所有資料結構教材中都會涉及，而且很多公司面試或者筆試的時候都會把這道題作為一個考察點。可以說，這是一道必須要掌握的演算法題。中綴表示式、字尾表示式等概念在這裡就不贅述了，讓我們直奔主題。

題目：輸入一箇中綴表示式，計算其結果。

輸入的前提假設：

（1）只考慮+、-、*、/這四種運算子，中綴表示式中只有一種括號：（）；

（2）輸入的中綴表示式中只有整數，沒有小數；

（3）假定輸入是合法的。

很多文章或課本喜歡一步到位，直接討論如何從中綴表示式計算結果。但對於初學者來說，跨度未免大了點。這裡循序漸進，從易到難，先討論如何將中綴表示式轉化為字尾表示式，再討論如何計算字尾表示式。最後在前面兩步的基礎上，討論如何一步到位，直接計算中綴表示式的結果：

一、如何將中綴表示式轉化為字尾表示式

在日常應用中，算術表示式中運算子總是出現在兩個運算元之間，例如5*（7-2*3）+8/2，這種形式稱為中綴表示式。計算一箇中綴表示式需要知道運算子的優先順序和結合性。乘除是高優先順序，加減是低優先順序，優先順序相同時他們都是左結合的，也就是從左計算到右。有括號就要計算括號內的表示式。

中綴表示式利於人的理解，但不便於計算機的處理。因此需要將中綴表示式轉換成字尾表示式，以方便計算機處理。所謂字尾表示式就是將運算子放在運算數之後。字尾表示式也稱為逆波蘭表示式。

比如：

中綴表示式為：1+(2-3)*4+4/2

對應字尾表示式為：1 2 3 - 4* + 4 2 / +

如何將一箇中綴表示式轉化為字尾表示式？我們需要藉助棧的力量，用它來存放運算子。演算法流程如下：

首先將各種運算子（包括括號）的優先順序排列如下（數字越大，優先順序越高）：

1：（

2：+ -

3：* /

4：）

對輸入的中綴表示式從左到右遍歷：

1）如果遇到數字，直接新增到字尾表示式末尾；

2）如果遇到運算子+、-、*、/：

先判斷棧是否為空。若是，則直接將此運算子壓入棧。若不是，則檢視當前棧頂元素。若棧頂元素優先順序大於或等於此操作符級別，則彈出棧頂元素，將棧頂元素新增到字尾表示式中，並繼續進行上述判斷。如果不滿足上述判斷或者棧為空，將這個運算子入棧。要注意的是，經過上述步驟，這個運算子最終一定會入棧。

3）如果遇到括號：

如果是左括號，直接入棧。如果是右括號，彈出棧中第一個左括號前所有的操作符，並將左括號彈出。（右括號別入棧）。

4）字串遍歷結束後，如果棧不為空，則彈出棧中所有元素，將它們新增到字尾表示式的末尾，直到棧為空。

二、計算字尾表示式

字尾表示式的計算就相當簡單了。準備一個數字棧。從左到右掃描字尾表示式，如果是數字，放入數字棧。如果是符號，從數字棧中彈出兩個數字，第一個取出的數字為右運算數，第二個為左運算數，進行運算。然後將結果放進數字棧中。如此反覆，直到讀完整個表示式後，留在數字棧中的那個數字就是最終結果。

C++程式碼如下，要注意，下面的程式碼預設中綴表示式中所有數字都是整數，並且都在0到9之間。而且計算結果都是整數（比如5/2=2）。

#include<iostream>
#include<string>
#include<stack>

using namespace std;

int getPriority(char ch)
{
    //獲取優先順序
    if (ch == '(') return 1;
    else if (ch == '+' || ch == '-') return 2;
    else if (ch == '*' || ch == '/') return 3;
    else return 4;
}

string getPostfixExpression(string str)
{
    //將中綴表示式轉化為字尾表示式
    //預設輸入是合法的
    stack<char> mystack;
    int size = str.size();
    int i = 0;
    char tmp;
    string res = "";
    while (i < size) {
        if (str[i] >= '0' && str[i] <= '9'){
            res.push_back(str[i]);
        }
        elseif (str[i] == '+' || str[i] == '-' || str[i] == '*' || str[i] == '/') {
            if (mystack.empty()) {
                mystack.push(str[i]);
            }
            else {
                while (!mystack.empty()) {
                    tmp = mystack.top();
                    if (getPriority(tmp) >= getPriority(str[i])) {
                        //彈出棧頂元素
                        res.push_back(tmp);
                        mystack.pop();
                    }
                    else break;
                }
                mystack.push(str[i]);
            }
        }
        else {
            if(str[i]=='(') mystack.push(str[i]);
            else {
                while (mystack.top() != '(') {
                    tmp = mystack.top();
                    res.push_back(tmp);
                    mystack.pop();
                }
                mystack.pop();
            }
        }
        i++;
    }

    //遍歷完後，若棧非空，彈出所有元素
    while (!mystack.empty()) {
        tmp = mystack.top();
        res.push_back(tmp);
        mystack.pop();
    }
    return res;
}

 

int calculator(string str)
{
    //計算字尾表示式的值，預設中綴表示式所有數字都是一位的，在0-9之間
    stack<int> mystack;
    int size = str.size();
    int num1, num2, num3;
    for (int i = 0; i < size; i++) {
        if (str[i] >= '0' && str[i] <= '9') {
            mystack.push(str[i] - '0');
        }
        else {
            num2 = mystack.top();
            mystack.pop();
            num1 = mystack.top();
            mystack.pop();
            if (str[i] == '+') {
                num3 = num1 + num2;
            }
            else if (str[i] == '-') {
                num3 = num1 - num2;
            }
            else if (str[i] == '*') {
                num3 = num1 * num2;
            }
            else if (str[i] == '/') {
                num3 = num1 / num2;
            }
            mystack.push(num3);
        }
    }
    return mystack.top();
}

 
int main()
{
    string str="1+(2-3)*4+4/2";
    cout <<"中綴表示式為:"<< endl << str << endl;
    string res = getPostfixExpression(str);
    cout <<"字尾表示式為:"<< endl << res << endl;
    int num_res = calculator(res);
    cout <<"計算結果:"<< endl << num_res << endl;
    system("pause");
    return 0;
}

三、直接計算中綴表示式

其實將前面的兩步結合起來，就可以得到直接計算的方法。準備一個數字棧和一個符號棧。

從左到右遍歷中綴表示式。如果遇到數字，入數字棧。

如果遇到符號（四個運算子以及括號），跟前面的“中綴表示式轉字尾表示式”過程一樣，對符號棧進行處理。處理過程中，對每一個出棧的運算子：+ - * /，根據“計算字尾表示式”的方法，計算結果（跟數字棧配合）。

如果遍歷完中綴表示式後符號棧還非空，就繼續出符號棧的運算子，計算，直到符號棧為空。最後數字棧剩下的數字就是結果。

下面給出用C++實現“計算中綴表示式”的程式碼，裡面考慮了“數字不止1位”，並且用浮點型來表示最終運算結果。要求中綴表示式中只能包含整數和運算子（不能包含小數），並且是合法的。

#include<iostream>
#include<string>
#include<stack>

using namespace std;

int getPriority(char ch)
{
	//獲取優先順序
	if (ch == '(') return 1;
	else if (ch == '+' || ch == '-') return 2;
	else if (ch == '*' || ch == '/') return 3;
	else return 4;
}

void calculate(stack<double> &mystack, char operation)
{
	double num1, num2, num3;
	num2 = mystack.top();
	mystack.pop();
	num1 = mystack.top();
	mystack.pop();
	if (operation == '+') {
		num3 = num1 + num2;
	}
	else if (operation == '-') {
		num3 = num1 - num2;
	}
	else if (operation == '*') {
		num3 = num1 * num2;
	}
	else if (operation == '/') {
		num3 = num1 / num2;
	}

	mystack.push(num3);
}

double calculator(string str)
{
	//計算中綴表示式,預設輸入是合法的
	stack<double> mystack_number;
	stack<char> mystack_operation;
	int i = 0, j;
	int size = str.size();
	char tmp_operation;
	string tmp_num;
	while (i < size) {
		if (str[i] >= '0' && str[i] <= '9') {
			j = i;
			while (j < size && str[j] >= '0' && str[j] <= '9') { j++; }
			tmp_num = str.substr(i, j - i);
			mystack_number.push(atoi(tmp_num.c_str()));
			i = j;
		}
		else if (str[i] == '+' || str[i] == '-' || str[i] == '*' || str[i] == '/') {
			if (mystack_operation.empty()) {
				mystack_operation.push(str[i]);
			}
			else {
				while (!mystack_operation.empty()) {
					tmp_operation = mystack_operation.top();
					if (getPriority(tmp_operation) >= getPriority(str[i])) {
						//計算
						calculate(mystack_number, tmp_operation);
						mystack_operation.pop();
					}
					else break;
				}
				mystack_operation.push(str[i]);
			}
			i++;
		}
		else {
			if (str[i] == '(') mystack_operation.push(str[i]);
			else {
				while (mystack_operation.top() != '(') {
					tmp_operation = mystack_operation.top();
					//計算
					calculate(mystack_number, tmp_operation);
					mystack_operation.pop();
				}
				mystack_operation.pop();
			}
			i++;
		}

	}
	//遍歷完後，若棧非空，彈出所有元素
	while (!mystack_operation.empty()) {
		tmp_operation = mystack_operation.top();
		//計算
		calculate(mystack_number, tmp_operation);
		mystack_operation.pop();
	}
	return mystack_number.top();
}

int main()
{
	string str = "1+(2-3)*4+10/2+2*2+2+2/5";
	cout << "中綴表示式為:" << endl << str << endl;
	double num_res = calculator(str);
	cout << "計算結果:" << endl << num_res << endl;
	system("pause");
	return 0;
}

相信通過這篇文章，大家對這個問題會有所瞭解。

給出一道思考題：如果加入乘方'^'，應該如何處理？要注意，乘方運算是右結合的。

其實很簡單。只有兩處修改：

1）將乘方新增到優先順序中：

1：（

2：+ -

3：* /

4：^

5：）

2）在讀中綴表示式的時候，如果讀到乘方^，就將它放進符號棧中。因為乘方的優先順序是最高的，而且是右結合的，所以無論它前面出現的是什麼運算，這些運算都不能執行。而且它本身能否執行也是不知道的，因此只能進棧。

大家自己試試吧~要記住，學習程式設計，動手去寫程式碼永遠是第一位的。

【參考資料】

[1]https://blog.csdn.net/sinat_36118270/article/details/70257547

[2]翁惠玉, 俞勇. 資料結構:思想與實現[M]. 高等教育出版社, 2009.

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