外部排序中多路歸併排序，採用敗者樹比勝者樹更優的原因和簡易證明

外部排序中多路歸併排序，採用敗者樹較優的原因

在外部排序中，多路歸併排序採用敗者樹的優點主要有以下原因：

多路歸併排序過程

多路歸併是指對\(r\)個初始歸併段，做\(k\)路平衡歸併
過程如下：

• 每趟歸併時，對\(k\)個已有序歸併段進行歸併
• 第\(i\)個歸併段最小值為\(X_i\)，每次取\(X_j=\min\{X_1,X_2,...,X_k\}\)，並新增到序列\(Q\)的尾部
• 刪去原\(X_j\)，\(X_j\)更新為第\(j\)個歸併段下一個最小值，以此類推直至所有歸併段內的元素都被新增至\(Q\)中

需求和約束

1. 需要動態地維護\(k\)個元素的最小值\(A\)
2. 每次刪去最小值\(A\)，並新增元素\(B\)，保證\(B \geq A\)

最小敗者樹(Min Loser Tree)使用要求

1. 每次僅支援修改最小值

勝者樹與敗者樹比較

• 敗者樹中最小值節點修改後向上更新父節點僅需訪問1個節點：父節點
• 勝者樹中最小值節點修改後向上更新父節點需要訪問2個節點：父節點，兄弟節點

證明比勝者樹更優

設被修改節點原值為\(X\)，新值為\(X'\)，兄弟節點值為\(Y\)，父節點值為\(F\)，需要得到父節點新值\(F'\)

• 敗者樹中：從最小值向上到根節點的路徑上，\(F=Y\)恆成立，故每次僅需訪問父節點，得到\(F'=\min(X',F)\)，並更新其值
• 勝者樹中：從最小值向上到根節點的路徑上，\(F=X\)恆成立，故每次需要訪問兄弟節點，得到\(F'=\min(X',Y)\)，並訪問父節點以更新其值