【概述】

越底層的函式，呼叫越頻繁，那麼最底層的數學運算函式的優化至關重要。

當求逆平方根時，一般做法都是用函式返回 1/sqrt(x)，但在 雷神之錘3 中，有一快速求逆平方根的演算法。

【知識儲備】

1.單精度浮點數的儲存

在計算機中，單精度浮點數使用 32 位來儲存，其中，最高位為符號位，後面 8 位為整數位 ，代表浮點數的指數，再後面 23 位代表小數部分 ，依次表示 、、...

因此，如果 x 是一個正浮點數，則有：

如果想將一浮點數轉為整數形式，則需要做如下運算：

其中，L 是指數部分唯一需要的次數，M 是小數部分對應的整數版本，B 為 127

2.牛頓迭代法

牛頓迭代法，是求解任意連續函式的根值的一種方法。

對於如上函式，現要求這個函式的根：首先猜一個 ，假設它是函式的解，但由於其實際不是，因此需要將這個解迭代，使其逼近真正的解。

在  處作其切線，求得切線方程：，並求切線的根，可以發現對於真正的解已經逼近了一步。

推廣到 n，繼續迭代，就足夠逼近真正的解：

此時， 可被一個統一的函式來表示：

令 ε 為當前解與真正解 r 的距離，則：

綜合方程，可得：

因此，只要 ε 小於某個特定的值，則可認為此時的  與方程的解十分接近

【原始碼】

float Q_rsqrt( float number )
{
    long i;
    float x2, y;
    const float threehalfs = 1.5F;
 
    x2 = number * 0.5F;
    y = number;
    i = * ( long * ) &y;// evil floating point bit level hacking
    i = 0x5f3759df - ( i >> 1 );//what the fuck?
    y = * ( float * ) &i;
    y = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) );//1st iteration （第一次牛頓迭代）
  //y = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) );//2nd iteration, this can be removed（第二次迭代，可以刪除）
 
    return y;
}

【分析】

如果要求一個浮點數的平方根倒數，一般求法為：

將其轉化為關於 y 的方程，有：

轉換為牛頓迭代法的方程，有：

此時，對原方程兩邊同取 2 的對數，有：

由於 ，則在這個區間內，可以近似取： 

根據方差的計算，當 σ=0.0430357 時，整體的偏差是最小的，此時上面的等號兩邊應該相當。

將上述公式整合，最終的  可以寫成：

則：

其中：

最終，寫成程式碼就是：

i = 0x5f3759df - ( i >> 1 );

【關於原始碼】

求逆平方根的演算法來自 雷神之錘3(quake3) 的作者卡馬克，該演算法並不複雜，其核心就是用牛頓迭代法來不斷逼近，但卡馬克真正厲害的地方，在於他選擇了一個十分神祕的常數：0x5f3759df 來計算猜測值，於是第一次牛頓迭代算出的值已經非常接近  ，這樣僅需兩次牛頓迭代就可達到所需精度。

普渡大學的數學家 Chris Lomont 看了以後覺得有趣，決定要研究卡馬克弄出來的這個猜測值有什麼奧祕。

Lomont 在精心研究之後從理論上也推匯出一個最佳猜測值：0x5f37642f，和卡馬克的數字非常接近。

傳奇並沒有在這裡結束。

Lomont 計算出結果以後非常滿意，於是拿自己計算出的起始值和卡馬克的神祕數字做比較，看哪個數字能夠更快更精確的求得逆平方根，結果是卡馬克贏了... 誰也不知道卡馬克是怎麼找到這個數字的。

最後 Lomont 採用暴力方法一個數字一個數字試過來，終於找到一個比卡馬克數字要好上那麼一丁點的數字，雖然實際上這兩個數字所產生的結果非常近似，這個暴力得出的數字是：0x5f375a86。

Lomont 為此寫下一篇論文，"Fast Inverse Square Root"。

論文下載地址：
http://www.math.purdue.edu/~clomont/Math/Papers/2003/InvSqrt.pdf
http://www.matrix67.com/data/InvSqrt.pdf